Теорема об изменении количества движения точки. Теорема об изменении количества движения точки Теорема об изменения количества движения материальной точки имеет вид

Теорема об изменении количества движения точки

Так как масса точки постоянна, а ее ускорение то уравне­ние, выражающее основной закон динамики, можно представить в виде

Уравнение выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна геометрической сумме действующих на точку сил.

Проинтегрируем это уравнение. Пусть точка массы m , движущаяся под действием силы (рис.15), имеет в момент t =0 скорость , а в момент t 1 -скорость .

Рис.15

Умножим тогда обе части равенства на и возь­мем от них определенные интегралы. При этом справа, где интегри­рование идет по времени, пределами интегралов будут 0 и t 1 , а слева, где интегрируется скорость, пределами интеграла будут соответствую­щие значения скорости и . Так как интеграл от равен , то в результате получим:

.

Стоящие справа интегралы пред­ставляют собою импульсы действующих сил. Поэтому окончательно будем иметь:

.

Уравнение выражает теорему об изменении коли­чества движения точки в конечном виде: изменение коли­чества движения точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени (рис. 15).

При решении задач вместо векторного уравнения часто пользуются уравнениями в проекциях.

В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси Ох теорема выражается первым из этих уравнений.

Пример 9. Найти закон движения материальной точки массы m , движущейся вдоль оси х под действием постоянной по модулю силы F (рис. 16) при начальных условиях: , при .

Рис.16

Решение. Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось х : . Интегрируя это уравнение, находим: . Постоянная определяется из начального условия для скорости и равна . Окончательно

.

Далее, учитывая, что v = dx/ dt , приходим к дифференциальному уравнению: , интегрируя которое получаем

Постоянную определяем из начального условия для координаты точки. Она равна . Следовательно, закон движения точки имеет вид

Пример 10 . Груз веса Р (рис.17) начинает двигаться из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной плоскости под действием силы F = kt . Найти закон движения груза.

Рис.17

Решение. Выберем начало отсчета системы координат О в начальном положении груза и направим ось х в сторону движения (рис. 17). Тогда начальные условия имеют вид: x (t = 0) = 0,v(t = 0) = 0. На груз действуют силы F, P и сила реакции плоскости N . Проекции этих сил на ось х имеют значения F x = F = kt , Р x = 0, N x = 0, поэтому соответствующее уравнение движения можно записать так: . Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении и затем интегрируя, получим: v = g kt 2 /2P + C 1 . Подставляя начальные данные (v (0) = 0), находим, чтоC 1 = 0, и получаем закон изменения скорости .

Последнее выражение, в свою очередь, является дифференциальным уравнением, интегрируя которое найдем закон движения материальной точки: . Входящую сюда постоянную определяем из второго начального условия х (0) = 0. Легко убедиться, что . Окончательно

Пример 11. На груз, находящийся в покое на горизонтальной гладкой плоскости (см. рис. 17) на расстоянии a от начала координат, начинает действовать в положительном направлении осиx сила F = k 2 (P /g )x , где Р – вес груза. Найти закон движения груза.

Решение. Уравнение движения рассматриваемого груза (материальной точки) в проекции на ось х

Начальные условия уравнения (1) имеют вид: x (t = 0) = a , v(t = 0) = 0.

Входящую в уравнение (1) производную по времени от скорости представим так

.

Подставляя это выражение в уравнение (1) и сокращая на (P /g ), получим

Разделяя переменные в последнем уравнении, находим, что . Интегрируя последнее, имеем: . Используя начальные условия , получаем , и, следовательно,

, . (2)

Поскольку сила действует на груз в положительном направлении оси х , то ясно, что в том же направлении он должен и двигаться. Поэтому в решении (2) следует выбрать знак "плюс". Заменяя дальше во втором выражении (2) на , получаем дифференциальное уравнение для определения закона движения груза. Откуда, разделяя переменные, имеем

.

Интегрируя последнее, находим: . После нахождения постоянной окончательно получаем

Пример 12. Шар M массы m (рис.18) падает без начальной скорости под действием силы тяжести. При падении шар испытывает сопротивление , где – постоянный коэффициент сопротивления. Найти закон движения шара.

Рис.18

Решение. Введем систему координат с началом в точке местоположения шара при t = 0, направив ось у вертикально вниз (рис. 18). Дифференциальное уравнение движения шара в проекции на ось у имеет тогда вид

Начальные условия для шара записываются так: y (t = 0) = 0, v(t = 0) = 0.

Разделяя переменные в уравнении (1)

и интегрируя, находим: , где . Или после нахождения постоянной

или . (2)

Отсюда следует, что предельная скорость, т.е. скорость при , равна .

Чтобы найти закон движения, заменим в уравнении (2) v на dy/ dt . Тогда, интегрируя полученное уравнение с учетом начального условия, окончательно находим

.

Пример 13. Научно-исследо­ватель­ская подводная лодка шарообразной формы и массы m = = 1.5×10 5 кг начинает погружаться с выключенными двигателями, имея горизонтальную скорость v х 0 = 30 м/с и отрицательную плавучесть Р 1 = 0.01mg , где – векторная сумма архимедовой выталкивающей силы Q и силы тяжести mg , действующих на лодку (рис. 20). Сила сопротивления воды , кг/с . Определить уравнения движения лодки и ее траекторию.

В качестве системы, о которой идёт речь в теореме, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел.

Формулировка теоремы

Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, - это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.

( кг·м/с)

Теорема об изменении количества движения системы утверждает

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.

Закон сохранения количества движения системы

Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то количество движения (импульс) системы есть величина постоянная.

, получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в дифференциальной форме :

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения ) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

(моме́нт коли́чества движе́ния м 2 ·кг·с −1 )

Теорема об изменении момента количества движения относительно центра

производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Теорема об изменении момента количества движения относительно оси

производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Рассмотрим материальную точку M массой m , движущуюся под действием силы F (рисунок 3.1). Запишем и построим вектор момента количества движения (кинетического момента) M 0 материальной точки относительно центра O :

Дифференцируем выражение момента количества движения (кинетического момента k 0) по времени:

Так как dr /dt = V , то векторное произведение V ⊗ m ⋅ V (коллинеарных векторов V и m ⋅ V ) равно нулю. В то же время d(m ⋅ V) /dt = F согласно теореме о количестве движения материальной точки. Поэтому получаем, что

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

где r ⊗F = M 0 (F ) – вектор-момент силы F относительно неподвижного центра O . Вектор k 0 ⊥ плоскости (r , m ⊗V ), а вектор M 0 (F ) ⊥ плоскости (r ,F ), окончательно имеем

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Уравнение (3.4) выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Проецируя равенство (3.4) на оси декартовых координат, получаем

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Равенства (3.5) выражают теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно оси: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

Рассмотрим следствия, вытекающие из теорем (3.4) и (3.5).

Следствие 1. Рассмотрим случай, когда сила F во все время движения точки проходит через неподвижный центр O (случай центральной силы), т.е. когда M 0 (F ) = 0. Тогда из теоремы (3.4) следует, что k 0 = const ,

т.е. в случае центральной силы момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным по модулю и направлению (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2

Из условия k 0 = const следует, что траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую, плоскость которой проходит через центр этой силы.

Следствие 2. Пусть M z (F ) = 0, т.е. сила пересекает ось z или ей параллельна. В этом случае, как это видно из третьего из уравнений (3.5), k z = const ,

т.е. если момент действующей на точку силы относительно какой-либо неподвижной оси всегда равен нулю, то момент количества движения (кинетический момент) точки относительно этой оси остается постоянным.

Доказательство теоремы обь ихменении количества движения

Пусть система состоит из материальных точек с массами и ускорениями . Все силы, действующие на тела системы, разделим на два вида:

Внешние силы - силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i обозначим .

Внутренние силы - силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k , будем обозначать , а силу воздействия i -й точки на k -ю точку - . Очевидно, что при , то

Используя введённые обозначения, запишем второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек в виде

Учитывая, что и суммируя все уравнения второго закона Ньютона, получаем:

Выражение представляет собой сумму всех внутренних сил, действующих в системе. По третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе соответствует сила такая, что и, значит, выполняется Поскольку вся сумма состоит из таких пар, то и сама сумма равна нулю. Таким образом, можно записать

Используя для количества движения системы обозначение , получим

Введя в рассмотрение изменение импульса внешних сил , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в дифференциальной форме:

Таким образом, каждое из последних полученных уравнений позволяет утверждать: изменение количества движения системы происходит только в результате действия внешних сил, а внутренние силы никакого влияния на эту величину оказать не могут.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:

где и - значения количества движения системы в моменты времени и соответственно, а - импульс внешних сил за промежуток времени . В соответствии со сказанным ранее и введёнными обозначениями выполняется

Дифференциальное уравнение движения материальной точки под действием силы F можно представить в следующей векторной форме:

Так как масса точки m принята постоянной, то её можно внести под знак производной. Тогда

Формула (1) выражает теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: первая производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе .

В проекциях на координатные оси (1) можно представить в виде

Если обе части (1) умножить на dt , то получим другую форму этой же теоремы – теорему импульсов в дифференциальной форме:

т.е. дифференциал от количества движения точки равен элементарному импульсу силы, действующей на точку.

Проецируя обе части (2) на координатные оси, получаем

Интегрируя обе части (2) в пределах от нуля до t (рис. 1), имеем

где - скорость точки в момент t ; - скорость при t = 0;

S - импульс силы за время t .

Выражение в форме (3) часто называют теоремой импульсов в конечной (или интегральной) форме: изменение количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы за тот же промежуток времени.

В проекциях на координатные оси эту теорему можно представить в следующем виде:

Для материальной точки теорема об изменении количества движения в любой из форм, по существу, не отличается от дифференциальных уравнений движения точки.

Теорема об изменении количества движения системы

Количеством движения системы будем называть векторную величину Q , равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы.

Рассмотрим систему, состоящую изn материальных точек. Составим для этой системы дифференциальные уравнения движения и сложим их почленно. Тогда получим:

Последняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю. Кроме того,

Окончательно находим:

Уравнение (4) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

Найдём другое выражение теоремы. Пусть в момент t = 0 количество движения системы равно Q 0 , а в момент времени t 1 становится равным Q 1 . Тогда, умножая обе части равенства (4) на dt и интегрируя, получим:

Или , где:

(S- импульс силы)

так как интегралы, стоящие справа, дают импульсы внешних сил,

уравнение (5) выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

В проекциях на оси координат будем иметь:

Закон сохранения количества движения

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следующие важные следствия:

1. Пусть сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю:

Тогда из уравнения (4) следует, что при этом Q =const.

Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянен по 10модулю и направлению.

2. 01Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например Ох) равна нулю:

Тогда из уравнений (4`) следует, что при этом Q = const.

Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная.

Эти результаты и выражают закон сохранения количества движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить суммарное количество движения системы не могут.

Рассмотрим некоторые примеры:

· Я в л е н и е о т д а ч и и л и о т к а т а. Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле будет силой внутренней. Эта сила не может изменить суммарное количество движения системы. Но так как пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей некоторое количество движения, направленное вперед, то они одновременно должны сообщит винтовке такое же количество движения в обратном направлении. Это вызовет движение винтовки назад, т.е. так называемую отдачу. Аналогичное явление получается при стрельбе из орудия (откат).

· Р а б о т а г р е б н о г о в и н т а (п р о п е л л е р а). Винт сообщает некоторой массе воздуха (или воды) движение вдоль оси винта, отбрасывая эту массу назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и самолет (или судно) как одну систему, то силы взаимодействия винта и среды как внутренние не могут изменить суммарное количество движения этой системы. Поэтому при отбрасывании массы воздуха (воды) назад самолет (или судно) получают соответствующую скорость движения вперед, такую, что общее количество движения рассматриваемой системы остается равным нулю, так как оно было нулем до начала движения.

Аналогичный эффект достигается действием весел или гребных колес.

· Р е а к т и в н о е д в и ж е н и е. В реактивном снаряде (ракете) газообразные продукты горения топлива с большой скоростью выбрасываются из отверстия в хвостовой части ракеты (из сопла реактивного двигателя). Действующие при этом силы давления будут силами внутренними и они не могут изменить суммарное количество движения системы ракета- пороховые газы. Но так как вырывающиеся газы имеют известное количество движения,направленное назад, то ракета получает при этом соответствующую скорость движения вперед.

Теорема моментов относительно оси.

Рассмотрим материальную точку массы m , движущуюся под действием силы F . Найдем для неё зависимость между моментом векторов mV и F относительно какой-нибудь неподвижной оси Z.

m z (F) = xF - уF (7)

Аналогично для величины m (mV) , если вынести m за скобку будет

m z (mV) = m(хV - уV) (7`)

Беря от обеих частей этого равенства производные по времени, находим

В правой части полученного выражения первая скобка равна 0, так как dx/dt=V и dу /dt = V , вторая же скобка согласно формуле (7) равна

m z (F) , так как по основному закону динамики:

Окончательно будем иметь (8)

Полученное уравнение выражает теорему моментов относительно оси: производная по времени от момента количества движения точки относительно какой-нибудь оси равна моменту действующей силы относительно той же оси. Аналогичная теорема имеет место и для моментов относительно любого центра О.

Рассмотрим систему, состоящую из материальных точек. Составим для этой системы дифференциальные уравнения движения (13) и сложим их почленно. Тогда получим

Последняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю. Кроме того,

Окончательно находим

Уравнение (20) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. В проекциях на координатные оси будет:

Найдем другое выражение теоремы. Пусть в момент времени количество движения системы равно а в момент становится равным . Тогда, умножая обе части равенства (20) на и интегрируя, получим

так как интегралы, стоящие справа, дают импульсы внешних сил.

Уравнение (21) выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

В проекциях на координатные оси будет:

Укажем на связь между доказанной теоремой и теоремой о движении центра масс. Так как , то, подставляя это значение в равенство (20) и учитывая, что получим , т. е. уравнение (16).

Следовательно, теорема о движении центра масс и теорема об изменении количества движения системы представляют собой, по существу, две разные формы одной и той же теоремы. В тех случаях, когда изучается движение твердого тела (или системы тел), можно в равной мере пользоваться любой из этих форм, причем уравнением (16) обычно пользоваться удобнее. Для непрерывной же среды (жидкость, газ) при решении задач обычно пользуются теоремой об изменении количества движения системы. Важные приложения эта теорема имеет также в теории удара (см. гл. XXXI) и при изучении реактивного движения (см. § 114).

Для материальной точки основной закон динамики можно представить в виде

Умножая обе части этого соотношения слева векторно на радиус-вектор (рис. 3.9), получаем

(3.32)

В правой части этой формулы имеем момент силы относительно точки О. Преобразуем левую часть, применив формулу производной векторного произведения

Но как векторное произведение параллельных векторов. После этого получаем

(3.33)

Первая производная по времени момента количества движения точки относительно какого-либо центра равна моменту силы относительно того же центра.

Пример вычисления кинетического момента системы. Вычислить кинетический момент относительно точки О системы, состоящей из цилиндрического вала массой М = 20 кг и радиусом R = 0.5м и спускающегося груза массой m = 60 кг (рисунок 3.12). Вал вращается вокруг оси Oz с угловой скоростью ω = 10 с -1 .

Рисунок 3.12

; ;

При заданных входных данных кинетический момент системы

Теорема об изменении кинетического момента системы. К каждой точке системы приложим равнодействующие внешних и внутренних сил. Для каждой точке системы можно применить теорему об изменении момента количества движения, например в форме (3.33)

Суммируя по всем точкам системы и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получим

По определению кинетического момента системы и свойству внешних и внутренних сил

поэтому полученное соотношение можно представить в виде

Первая производная по времени кинетического момента системы относительно какой-либо точки равна главному моменту внешних сил, действующих на систему, относительно той же точки.

3.3.5. Работа силы

1) Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на дифференциал радиус вектора точки приложения силы (рис. 3.13)

Рисунок 3.13

Выражение (3.36) можно записать также в следующих эквивалентных формах

где - проекция силы на направление скорости точки приложения силы.

2) Работа силы на конечном перемещении

Интегрируя элементарную работу силы, получим следующие выражения для работы силы на конечном перемещении из точки А в точку В

3) Работа постоянной силы

Если сила постоянна, то из (3.38) следует

Работа постоянной силы не зависит от формы траектории, а зависит только от вектора перемещения точки приложения силы .

4) Работа силы веса

Для силы веса (рис. 3.14) и из (3.39) получим

Рисунок 3.14

Если движение происходит из точки В в точку А, то

В общем случае

Знак «+» соответствует движению точки приложения силы «вниз», знак «-» - вверх.

4) Работа силы упругости

Пусть ось пружины направлена по оси x (рис.3.15), а конец пружины перемещается из точки 1 в точку 2, тогда из (3.38) получим

Если жесткость пружины равна с , то , тогда

А (3.41)

Если конец пружины перемещается из точки 0 в точку 1, то в этом выражении заменяем , , тогда работа силы упругости примет вид

(3.42)

где - удлинение пружины.

Рисунок 3.15

5) Работа силы приложенной к вращающемуся телу. Работа момента.

На рис. 3.16 показано вращающееся тело, к которому приложена произвольная сила . При вращении точка приложения этой силы движется по окружности.