Теорема про зміну кількості руху точки. Теорема про зміну кількості руху точки Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки має вигляд

Теорема про зміну кількості руху точки

Оскільки маса точки постійна, та її прискорення то рівняння, що виражає основний закон динаміки, можна у вигляді

Рівняння висловлює одночасно теорему про зміну кількості руху точки у диференційній формі: похідна за часом від кількості руху точки дорівнює геометричній сумі сил, що діють на точку.

Проінтегруємо це рівняння. Нехай точка маси m, що рухається під дією сили (рис.15), має момент t=0 швидкість , а момент t 1-швидкість.

Рис.15

Помножимо тоді обидві частини рівності і візьмемо від них певні інтеграли. При цьому праворуч, де інтегрування йде за часом, межами інтегралів будуть 0 t 1 , а зліва, де інтегрується швидкість, межами інтеграла будуть відповідні значення швидкості та . Оскільки інтеграл від дорівнює , то в результаті отримаємо:

.

Інтеграли, що стоять праворуч, являють собою імпульси діючих сил. Тому остаточно матимемо:

.

Рівняння висловлює теорему про зміну кількості руху точки в кінцевому вигляді: зміна кількості руху точки за деякий проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів всіх діючих на точку сил за той самий проміжок часу (Мал. 15).

При розв'язанні задач замість векторного рівняння часто користуються рівняннями у проекціях.

У разі прямолінійного руху, що відбувається вздовж осі ОхТеорема виражається першим із цих рівнянь.

Приклад 9.Знайти закон руху матеріальної точки маси m, що рухається вздовж осі хпід дією постійної за модулем сили F(рис. 16) за початкових умов: , при .

Рис.16

Рішення.Складемо диференціальне рівняння руху точки у проекції на вісь х: . Інтегруючи це рівняння, знаходимо: . Постійна визначається з початкової умови для швидкості і дорівнює. Остаточно

.

Далі, враховуючи, що v = dx/dt, Приходимо до диференціального рівняння: , інтегруючи яке отримуємо

Постійну визначаємо з початкової умови для координати точки. Вона дорівнює. Отже, закон руху точки має вигляд

Приклад 10. Вантаж ваги Р(рис.17) починає рухатися зі стану спокою вздовж гладкої горизонтальної площини під дією сили F = kt. Знайти закон руху вантажу.

Рис.17

Рішення.Виберемо початок відліку системи координат Проу початковому положенні вантажу та направимо вісь ху бік руху (рис. 17). Тоді початкові умови мають вигляд: x(t = 0) = 0, v ( t = 0) = 0. На вантаж діють сили F,Pта сила реакції площини N. Проекції цих сил на вісь хмають значення Fx = F = kt, Рx = 0, N x= 0, тому відповідне рівняння руху можна записати так: . Розділяючи змінні у цьому диференціальному рівнянні і потім інтегруючи, отримаємо: v = gkt 2 /2P + C 1 . Підставляючи початкові дані ( v(0) = 0), знаходимо, що C 1 = 0, і отримуємо закон зміни швидкості .

Останнє вираження, своєю чергою, є диференціальним рівнянням, інтегруючи яке знайдемо закон руху матеріальної точки: . Постійну, що входить сюди, визначаємо з другої початкової умови х(0) = 0. Легко переконатися, що . Остаточно

Приклад 11.На вантаж, що знаходиться у спокої на горизонтальній гладкій площині (див. мал. 17) на відстані aвід початку координат, починає діяти у позитивному напрямку осі xсила F = k 2 (P/g)x, де Р –вага грузу. Знайти закон руху вантажу.

Рішення.Рівняння руху вантажу (матеріальної точки), що розглядається, в проекції на вісь х

Початкові умови рівняння (1) мають вигляд: x(t = 0) = a, v ( t = 0) = 0.

Похідну за часом від швидкості, що входить до рівняння (1), представимо так

.

Підставляючи цей вираз у рівняння (1) і скорочуючи на ( P/g), отримаємо

Розділяючи змінні в останньому рівнянні, знаходимо, що . Інтегруючи останнє, маємо: . Використовуючи початкові умови , отримуємо , і, отже,

, . (2)

Оскільки сила діє на вантаж у позитивному напрямку осі х, то ясно, що в тому ж напрямі він повинен рухатися. Тому у рішенні (2) слід вибрати знак "плюс". Замінюючи далі у другому виразі (2) на , отримуємо диференціальне рівняння визначення закону руху вантажу. Звідки, поділяючи змінні, маємо

.

Інтегруючи останнє, знаходимо: . Після перебування постійної остаточно отримуємо

Приклад 12Куля Mмаси m(рис.18) падає без початкової швидкості під впливом сили тяжкості. При падінні куля відчуває опір , де – постійний коефіцієнт опору. Знайти закон руху кулі.

Рис.18

Рішення.Введемо систему координат з початком у точці розташування кулі при t = 0, направивши вісь увертикально донизу (рис. 18). Диференціальне рівняння руху кулі у проекції на вісь умає тоді вигляд

Початкові умови для кулі записуються так: y(t = 0) = 0, v ( t = 0) = 0.

Розділяючи змінні в рівнянні (1)

і інтегруючи, знаходимо: , де . Або після перебування постійної

або . (2)

Звідси випливає, що гранична швидкість, тобто. швидкість при , що дорівнює .

Щоб знайти закон руху, замінимо в рівнянні (2) v на dy/dt. Тоді, інтегруючи отримане рівняння з урахуванням початкової умови, остаточно знаходимо

.

приклад 13.Науково-дослідний підводний човен кулястої форми та маси m= = 1.5×10 5 кгпочинає занурюватися з вимкненими двигунами, маючи горизонтальну швидкість v х 0 = 30 м/ста негативну плавучість Р 1 = 0.01mg, де - Векторна сума архімедової сили, що виштовхує Qта сили тяжіння mgщо діють на човен (рис. 20). Сила опору води , кг/с. Визначити рівняння руху човна та його траєкторію.

Як система, про яку йдеться в теоремі, може виступати будь-яка механічна система, що складається з будь-яких тіл.

Формулювання теореми

Кількість руху (імпульс) механічної системи називають величину, рівну сумі кількостей руху (імпульсів) всіх тіл, що входять в систему. Імпульс зовнішніх сил, які діють тіла системи, - це сума імпульсів всіх зовнішніх сил, що діють тіла системи.

( кг · м / с)

Теорема про зміну кількості руху системи стверджує

Зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу зовнішніх сил, що діють на систему, за той самий проміжок часу.

Закон збереження кількості руху системи

Якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, кількість руху (імпульс) системи є величина постійна.

, отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи у диференціальній формі:

Проінтегрувавши обидві частини отриманої рівності за довільно взятим проміжком часу між деякими і , отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в інтегральній формі:

Закон збереження імпульсу (Закон збереження кількості руху) стверджує, що векторна сума імпульсів всіх тіл системи є постійна величина, якщо векторна сума зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю.

(Момент кількості руху м 2 ·кг·с −1 )

Теорема про зміну моменту кількості руху щодо центру

похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо будь-якого нерухомого центру дорівнює моменту чинної на точку сили щодо того ж центру.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Теорема про зміну моменту кількості руху щодо осі

похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо будь-якої нерухомої осі дорівнює моменту чинної на цю точку сили щодо тієї ж осі.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Розглянемо матеріальну точку M масою m , що рухається під дією сили F (Рисунок 3.1). Запишемо та побудуємо вектор моменту кількості руху (кінетичного моменту) M 0 матеріальної точки щодо центру O :

Диференціюємо вираз моменту кількості руху (кінетичного моменту k 0) за часом:

Так як dr /dt = V , то векторний твір V ⊗ m ⋅ V (колінеарних векторів V і m ⋅ V ) дорівнює нулю. В той же час d(m ⋅ V) /dt = F згідно з теоремою про кількість руху матеріальної точки. Тому отримуємо, що

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

де r ⊗F = M 0 (F ) - Вектор-момент сили F щодо нерухомого центру O . Вектор k 0 ⊥ площині ( r , m ⊗V ), а вектор M 0 (F ) ⊥ площині ( r ,F ), остаточно маємо

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Рівняння (3.4) виражає теорему про зміну моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо центру: похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо будь-якого нерухомого центру дорівнює моменту чинної на точку сили щодо того ж центру.

Проеціюючи рівність (3.4) на осі декартових координат, отримуємо

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Рівності (3.5) виражають теорему про зміну моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо осі: похідна за часом від моменту кількості руху (кінетичного моменту) матеріальної точки щодо будь-якої нерухомої осі дорівнює моменту чинної на цю точку сили щодо тієї ж осі.

Розглянемо слідства, які з теорем (3.4) і (3.5).

Наслідок 1.Розглянемо випадок, коли сила F під час руху точки проходить через нерухомий центр O (Випадок центральної сили), тобто. коли M 0 (F ) = 0. Тоді з теореми (3.4) випливає, що k 0 = const ,

тобто. у разі центральної сили момент кількості руху (кінетичний момент) матеріальної точки щодо центру цієї сили залишається постійним за модулем та напрямом (рисунок 3.2).

Малюнок 3.2

З умови k 0 = const слід, що траєкторія точки, що рухається, являє собою плоску криву, площина якої проходить через центр цієї сили.

Наслідок 2.Нехай M z (F ) = 0, тобто. сила перетинає вісь z чи їй паралельна. В цьому випадку, як видно з третього з рівнянь (3.5), k z = const ,

тобто. якщо момент чинної точки сили щодо будь-якої нерухомої осі завжди дорівнює нулю, то момент кількості руху (кінетичний момент) точки щодо цієї осі залишається постійним.

Доказ теореми про їх зміну кількості руху

Нехай система складається з матеріальних точок з масами та прискореннями. Усі сили, що діють на тіла системи, розділимо на два види:

Зовнішні сили - сили, що діють з боку тіл, що не входять до системи, що розглядається. Рівнодіючу зовнішніх сил, що діють на матеріальну точку з номером iпозначимо.

Внутрішні сили - це сили, з якими взаємодіють один з одним тіла самої системи. Силу, з якою на точку з номером iдіє крапка з номером k, будемо позначати , а силу впливу i-ї точки на k-ю точку - . Очевидно, що при , то

Використовуючи введені позначення, запишемо другий закон Ньютона для кожної з матеріальних точок, що розглядаються у вигляді

Враховуючи що і підсумовуючи всі рівняння другого закону Ньютона, отримуємо:

Вираз є сумою всіх внутрішніх сил, що діють у системі. За третім законом Ньютона в цій сумі кожній силі відповідає така сила, що і, значить, виконується Оскільки вся сума складається з таких пар, то сама сума дорівнює нулю. Таким чином, можна записати

Використовуючи для кількості руху системи позначення, отримаємо

Ввівши на розгляд зміну імпульсу зовнішніх сил , Отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в диференціальній формі:

Таким чином, кожне з останніх отриманих рівнянь дозволяє стверджувати: зміна кількості руху системи відбувається тільки внаслідок дії зовнішніх сил, а внутрішні сили ніякого впливу на цю величину не можуть.

Проінтегрувавши обидві частини отриманої рівності за довільно взятим проміжком часу між деякими і отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в інтегральній формі:

де - значення кількості руху системи в моменти часу і відповідно, а - імпульс зовнішніх сил за проміжок часу . Відповідно до сказаного раніше та введених позначень виконується

Диференційне рівняння руху матеріальної точки під дією сили Fможна представити у наступній векторній формі:

Оскільки маса точки mприйнята постійною, її можна внести під знак похідної. Тоді

Формула (1) виражає теорему про зміну кількості руху точки у диференційній формі: перша похідна за часом від кількості руху точки дорівнює чинній на точку силі.

У проекціях на координатні осі (1) можна подати у вигляді

Якщо обидві частини (1) помножити на dt, то отримаємо іншу форму цієї ж теореми – теорему імпульсів у диференціальній формі:

тобто. диференціал кількості руху точки дорівнює елементарному імпульсу сили, що діє на точку.

Проеціюючи обидві частини (2) на координатні осі, отримуємо

Інтегруючи обидві частини (2) у межах від нуля до t (рис. 1), маємо

де - швидкість точки на момент t; - швидкість при t = 0;

S- імпульс сили за час t.

Вираз у формі (3) часто називають теоремою імпульсів у кінцевій (або інтегральній) формі: зміна кількості руху точки за будь-який проміжок часу дорівнює імпульсу сили за той самий проміжок часу.

У проекціях на координатні осі цю теорему можна подати у такому вигляді:

Для матеріальної точки теорема про зміну кількості руху в будь-якій формі, по суті, не відрізняється від диференціальних рівнянь руху точки.

Теорема про зміну кількості руху системи

Кількість руху системи називатиме векторну величину Q, що дорівнює геометричній сумі (головному вектору) кількостей руху всіх точок системи.

Розглянемо систему, що складається з n матеріальних точок. Складемо для цієї системи диференціальні рівняння руху та складемо їх почленно. Тоді отримаємо:

Остання сума за якістю внутрішніх сил дорівнює нулю. Крім того,

Остаточно знаходимо:

Рівняння (4) виражає теорему про зміну кількості руху системи у диференційній формі: похідна за часом кількості руху системи дорівнює геометричній сумі всіх діючих на систему зовнішніх сил.

Знайдемо інший вираз теореми. Нехай у момент t= 0 кількість руху системи дорівнює Q 0, а в момент часу t 1стає рівним Q1.Тоді, помножуючи обидві частини рівності (4) на dtта інтегруючи, отримаємо:

Або , де:

(S-імпульс сили)

так як інтеграли, що стоять праворуч, дають імпульси зовнішніх сил,

рівняння (5) виражає теорему про зміну кількості руху системи в інтегральній формі: зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює сумі імпульсів діючих на систему зовнішніх сил за той самий проміжок часу.

У проекціях на осі координат матимемо:

Закон збереження кількості руху

З теореми про зміну кількості руху системи можна отримати такі важливі наслідки:

1. Нехай сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю:

Тоді з рівняння (4) випливає, що при цьому Q = const.

Таким чином, якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, то вектор кількості руху системи буде постійний по 10модулю та напрямку.

2. Нехай зовнішні сили, що діють на систему, такі, що сума їх проекцій на якусь вісь (наприклад Ох) дорівнює нулю:

Тоді з рівнянь (4`) випливає, що при цьому Q = const.

Таким чином, якщо сума проекцій всіх діючих зовнішніх сил якусь вісь дорівнює нулю, то проекція кількості руху системи цю вісь є величина постійна.

Ці результати і висловлюють закон збереження кількості руху системи.З них випливає, що внутрішні сили змінити сумарну кількість руху системи не можуть.

Розглянемо деякі приклади:

· Я в л е н е н н е д а ч і л і л о т к а т а. Якщо розглядати гвинтівку та кулю як одну систему, то тиск порохових газів при пострілі буде силою внутрішньою. Ця сила не може змінити сумарну кількість руху системи. Але оскільки порохові гази, діючи на кулю, повідомляють їй деяку кількість руху, спрямовану вперед, вони одночасно повинні повідомити гвинтівці таку ж кількість руху в зворотному напрямку. Це спричинить рух гвинтівки тому, тобто. так звану віддачу. Аналогічне явище виходить при стрільбі зі зброї (відкат).

· Р а б о т а г р е б н о г о в і н т а (п о п о л е р а). Гвинт повідомляє деяку масу повітря (або води) рух уздовж осі гвинта, відкидаючи цю масу назад. Якщо розглядати масу, що відкидається, і літак (або судно) як одну систему, то сили взаємодії гвинта і середовища як внутрішні не можуть змінити сумарну кількість руху цієї системи. Тому при відкиданні маси повітря (води) назад літак (або судно) одержують відповідну швидкість руху вперед, таку, що загальна кількість руху системи, що розглядається, залишається рівним нулю, так як воно було нулем до початку руху.

Аналогічний ефект досягається дією весел чи гребних коліс.

· Реактизнання. У реактивному снаряді (ракеті) газоподібні продукти горіння палива з великою швидкістю викидаються з отвору в хвостовій частині ракети (із сопла реактивного двигуна). Діючі при цьому сили тиску будуть внутрішніми силами і вони не можуть змінити сумарну кількість руху системи ракета-порохові гази. Але оскільки гази, що вириваються, мають відому кількість руху, спрямоване назад, то ракета отримує при цьому відповідну швидкість руху вперед.

Теорема моментів щодо осі.

Розглянемо матеріальну точку маси m, що рухається під дією сили F. Знайдемо для неї залежність між моментом векторів mVі Fщодо якоїсь нерухомої осі Z.

m z (F) = xF - уF (7)

Аналогічно для величини m (mV), якщо винести mза дужку буде

m z (mV) = m(хV - уV)(7`)

Беручи від обох частин цієї рівності похідні за часом, знаходимо

У правій частині отриманого виразу перша дужка дорівнює 0, оскільки dx/dt=V і dу/dt=V, друга ж дужка згідно з формулою (7) дорівнює

m z (F), оскільки за основним законом динаміки:

Остаточно матимемо (8)

Отримане рівняння виражає теорему моментів щодо осі: похідна за часом від моменту кількості руху точки щодо якоїсь осі дорівнює моменту діючої сили щодо тієї ж осі.Аналогічна теорема має місце й у моментів щодо будь-якого центру Про.

Розглянемо систему, що складається з матеріальних точок. Складемо цієї системи диференціальні рівняння руху (13) і складемо їх почленно. Тоді отримаємо

Остання сума за якістю внутрішніх сил дорівнює нулю. Крім того,

Остаточно знаходимо

Рівняння (20) виражає теорему про зміну кількості руху системи в диференційній формі: похідна за часом від кількості руху системи дорівнює геометричній сумі всіх діючих на систему зовнішніх сил. У проекціях на координатні осі буде:

Знайдемо інший вираз теореми. Нехай в момент часу кількість руху системи дорівнює а в момент стає рівним. Тоді, помножуючи обидві частини рівності (20) на і інтегруючи, отримаємо

оскільки інтеграли, які стоять праворуч, дають імпульси зовнішніх сил.

Рівняння (21) виражає теорему про зміну кількості руху системи в інтегральній формі: зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює сумі імпульсів, що діють систему зовнішніх сил за той же проміжок часу.

У проекціях на координатні осі буде:

Вкажемо на зв'язок між доведеною теоремою та теоремою про рух центру мас. Оскільки , то, підставляючи це значення у рівність (20) і враховуючи, що отримаємо , тобто рівняння (16).

Отже, теорема про рух центру мас і теорема про зміну кількості руху системи є, по суті, дві різні форми однієї і тієї ж теореми. У тих випадках, коли вивчається рух твердого тіла (або системи тіл), можна однаково користуватися будь-якою з цих форм, причому рівнянням (16) зазвичай користуватися зручніше. Для безперервного середовища (рідина, газ) при розв'язанні задач зазвичай користуються теоремою про зміну кількості руху системи. Важливі додатки ця теорема має також теорії удару (див. гл. XXXI) і щодо реактивного руху (див. § 114).

Для матеріальної точки основний закон динаміки можна подати у вигляді

Помножуючи обидві частини цього співвідношення зліва векторно на радіус-вектор (рис. 3.9), отримуємо

(3.32)

У правій частині цієї формули маємо момент сили щодо точки О. Перетворимо ліву частину, застосувавши формулу похідної векторного твору

Але як векторний добуток паралельних векторів. Після цього отримуємо

(3.33)

Перша похідна за часом моменту кількості руху точки щодо якогось центру дорівнює моменту сили щодо того ж центру.

Приклад обчислення кінетичного моменту системи. Обчислити кінетичний момент щодо точки Про системи, що складається з циліндричного валу масою М = 20 кг і радіусом R = 0.5м і вантажу, що спускається масою m = 60 кг (рисунок 3.12). Вал обертається навколо осі Oz з кутовою швидкістю ω = 10 -1 .

Малюнок 3.12

; ;

При заданих вхідних даних кінетичний момент системи

Теорема про зміну кінетичного моменту системи.До кожної точки системи докладемо рівнодіючі зовнішніх та внутрішніх сил. Для кожної точки системи можна застосувати теорему про зміну моменту кількості руху, наприклад у формі (3.33)

Підсумовуючи по всіх точках системи та враховуючи, що сума похідних дорівнює похідній від суми, отримаємо

За визначенням кінетичного моменту системи та властивістю зовнішніх і внутрішніх сил

тому отримане співвідношення можна подати у вигляді

Перша похідна за часом кінетичного моменту системи щодо будь-якої точки дорівнює головному моменту зовнішніх сил, які діють систему, щодо тієї ж точки.

3.3.5. Робота сили

1) Елементарна робота сили дорівнює скалярному добутку сили на диференціал радіус вектора точки докладання сили (рис. 3.13)

Малюнок 3.13

Вираз (3.36) можна записати також у наступних еквівалентних формах

де - Проекція сили на напрямок швидкості точки докладання сили.

2) Робота сили на кінцевому переміщенні

Інтегруючи елементарну роботу сили, отримаємо такі висловлювання для роботи сили на кінцевому переміщенні з точки А в точку В

3) Робота постійної сили

Якщо сила стала, то з (3.38) випливає

Робота постійної сили залежить від форми траєкторії, а залежить від вектора переміщення точки докладання сили .

4) Робота сили ваги

Для сили ваги (рис. 3.14) та з (3.39) отримаємо

Малюнок 3.14

Якщо рух походить з точки В до точки А, то

У загальному випадку

Знак "+" відповідає руху точки докладання сили "вниз", знак "-" - вгору.

4) Робота сили пружності

Нехай вісь пружини спрямована по осі x (рис.3.15), а кінець пружини переміщається з точки 1 до точки 2, тоді з (3.38) отримаємо

Якщо жорсткість пружини дорівнює з, то тоді

А (3.41)

Якщо кінець пружини переміщається з точки 0 в точку 1, то в цьому виразі замінюємо , тоді робота сили пружності набуде вигляду

(3.42)

де – подовження пружини.

Малюнок 3.15

5) Робота сили прикладеної до тіла, що обертається. Робота моменту.

На рис. 3.16 показано тіло, що обертається, до якого прикладена довільна сила . При обертанні точка застосування цієї сили рухається по колу.