Багаточлен, його стандартний вид, ступінь та коефіцієнти членів. Багаточлени від кількох змінних Сума багаточленів від двох змінних

Багаточлени від однієї та кількох змінних детально вивчаються в курсі вищої алгебри. У цьому розділі ми розглянемо лише деякі питання теорії багаточленів з числовими коефіцієнтами від кількох змінних, які в курсі вищої алгебри не висвітлюються, але з якими, однак, має бути знайомий кожен учитель математики.

Нехай-довільне числове поле, деякі незалежні змінні, що приймають будь-які значення з поля

Будь-який твір виду

де А - деяке число з поля деякі цілі невід'ємні числа, що називаються одночленом від змінних над полем Числовий множник А називають коефіцієнтом одночлена.

Якщо коефіцієнт А одночлена дорівнює нулю, то одночлен при будь-яких чисельних значеннях змінних дорівнює нулю, тобто тотожно дорівнює нулю; його називають нуль-одночленом і позначають символом 0. Якщо коефіцієнт А відмінний від нуля, то одночлен називають відмінним від нуль-одночлена або коротко відмінним від нуля.

Показник ступеня з яким змінне входить у відмінний від нуля одночлен називають ступенем одночлена щодо змінного Суму всіх показників ступенів, з якими змінні входять до цього одночлена, називають ступенем одночлена щодо сукупності змінних

Так, наприклад, є одночлен четвертого ступеня щодо та десятого ступеня щодо сукупності змінних

Нуль-одночлену не приписують жодного ступеня.

Два відмінні від нуля одночлени від змінних

називаються подібними, якщо кожне із змінних входить в обидва одночлени в одній і тій же мірі, якщо Інакше кажучи, відмінні від нуля одночлени від одних і тих самих змінних називаються подібними, якщо вони відрізняються один від одного лише своїми коефіцієнтами.

Так, наприклад, одночлени-подібні.

кількох подібних одночленів від змінних над числовим полем може бути замінена тотожним їй одночленом

який кожне з змінних входить у тій мірі, як у складові, і коефіцієнт якого дорівнює сумі коефіцієнтів доданків.

Дійсно, оскільки коефіцієнти належать числовому полю, а операції складання та множення чисел нуля пов'язані дистрибутивним законом,

при будь-яких значеннях змінних належать полю Наприклад:

Оскільки операція множення у числовому полі коммутативна та асоціативна, то твір

кількох одночленів від змінних над числовим полем тотожно одночлену

коефіцієнт якого дорівнює добутку коефіцієнтів одночленів-співмножників, а кожне зі змінних входить в одночлен-твір у ступені, що дорівнює сумі показників ступенів цього змінного у всіх одночленах-співмножниках. Отже, добуток кількох одночленів виду (1) можна замінити тотожним йому одночленом виду (2).

Так наприклад,

Вираз, що виходить із змінних за допомогою операцій складання та множення, називається багаточленом від змінних над полем

Так наприклад,

є багаточлен від змінних над полем дійсних чисел.

Іноді той самий многочлен можна розглядати над різними числовими полями. Тож якщо коефіцієнтами многочлена є раціональні числа, а змінні приймають лише раціональні значення, цей многочлен вважається заданим над полем раціональних чисел. Але оскільки раціональні числа містяться у полі дійсних, соціальній та полі комплексних чисел, цей багаточлен можна розглядати над полем дійсних чи комплексних чисел, вважаючи, що незалежні змінні приймають будь-які дійсні чи комплексні значення. Так, наприклад, багаточлен можна розглядати над полем раціональних, дійсних чи комплексних чисел. Так як в результаті множення та складання чисел поля ми отримуємо числа цього ж поля то значення многочлена при будь-яких чисельних значеннях незалежних змінних належать тому ж числовому полю, над яким розглядається багаточлен.

Відповідно до визначення тотожності двох аналітичних виразів два многочлени від тих самих змінних називаються тотожними (чи тотожно рівними), якщо за будь-яких чисельних значеннях цих змінних значення многочленов рівні.

Заміна многочлена тотожним йому багаточленом називається тотожним перетворенням даного багаточлена. Числа, що входять до багаточленів від змінних, задані над числовим полем і значення змінних, які вони приймають, належать до числового поля. . на основі комутативного та асоціативного законів

складання та множення та дистрибутивного закону множення відносної додавання, а також правил дій над числами, що випливають із цих законів.

За визначенням кожен многочлен від змінних над числовим полем утворюється з чисел поля та незалежних змінних у вигляді операцій складання та множення. Розкривши в багаточлені дужки, якщо вони є, і виконавши множення одночленів, ми отримаємо тотожну заданому багаточлену суму виду

де деякі числа з поля, а деякі цілі невід'ємні числа.

Отже, кожен многочлен від змінних над числовим полем може бути записаний у вигляді суми одночленів від над полем Р:

Тому іноді дають таке визначення багаточлена:

Багаточлен від змінних над числовим полем називається функція яка може бути представлена ​​у вигляді суми декількох одночленів від змінних над полем Р:

Якщо серед одночленів, що входять до багаточлену (1), є подібні, то згрупуємо їх, переставивши в разі потреби доданки, і замінимо кожну групу подібних одночленів тотожним їй одночленом, тобто наведемо подібні члени.

Після приведення подібних членів коефіцієнти деяких одночленів-доданків можуть бути рівними нулю, тобто деякі з доданків можуть бути

нуль-одночленами. Такі складові ми виключимо. Внаслідок цього багаточлен запишеться як суми не подібних попарно одночленів, тотожно рівної заданому многочлену. Якщо після приведення подібних членів всі складові многочлена будуть нуль-одночленами, то многочлен тотожно дорівнює нулю. Такий многочлен називається нуль-многочленом і позначається 0 символом.

Запис многочлена як суми не подібних попарно одночленів чи вигляді нуль-многочлена називається канонічної формою чи канонічним поданням многочлена. Наприклад, запис є канонічною формою багаточлена

З викладеного вище випливає, що кожен многочлен від кількох змінних може бути записаний у канонічній формі. Кожен одночлен від змінних є окремим випадком многочлена, саме многочленом, в канонічної формі якого є лише одне доданок.

Від кількох змінних. Нагадаємо спочатку поняття багаточлена та пов'язані з цим поняттям визначення.

Визначення 1

Багаточлен- це сума одночленів.

Визначення 2

Члени багаточлену- це все одночлени, що входять до багаточлену.

Визначення 3

Багаточлен стандартного виду називають многочлен, що складається з одночленів стандартного виду, який не має подібних членів.

Визначення 4

Ступінь багаточлена стандартного вигляду- Найбільший ступінь зі ступенів одночленів, що входять до нього.

Введемо тепер безпосередньо визначення многочлена від двох змінних.

Визначення 5

Багаточлен, члени якого мають лише дві різні змінні називається багаточленом від двох змінних.

Приклад: $(6y)^6+(13xy)^5$.

Над двочленами можна проводити такі дії: двочлени можна складати один з одним і віднімати один з одного, перемножувати між собою, а також множити двочлен на одночлен і зводити в будь-який ступінь.

Сума багаточленів від двох змінних

Розглянемо суму двочленів на прикладі

Приклад 1

Складемо двочлени $(xy)^5+(3x)^5$ і $(3x)^5-(xy)^5$

Рішення.

Першим кроком нам необхідно записати ці багаточлени як суму:

\[\left((xy)^5+(3x)^5\right)+((3x)^5-(xy)^5)\]

Розкриємо дужки:

\[(xy)^5+(3x)^5+(3x)^5-(xy)^5\]

\[(6x)^5\]

Відповідь:$ (6x) ^ 5 $.

Різниця багаточленів від двох змінних

Приклад 2

Віднімемо з двочлена $(xy)^5+(3x)^5$ двочлен $(3x)^5-(xy)^5$

Рішення.

Першим кроком нам необхідно записати ці багаточлени як різницю:

\[\left((xy)^5+(3x)^5\right)-((3x)^5-(xy)^5)\]

Розкриємо дужки:

Нагадаємо, якщо перед дужками стоїть знак мінус, то, при розкритті дужок, знаки в дужках будуть змінюватися на протилежні.

\[(xy)^5+(3x)^5-(3x)^5+(xy)^5\]

Наведемо подібні доданки, в результаті отримаємо:

\[(2xy)^5\]

Відповідь:$(2xy)^5$.

Твори одночлена та багаточлена від двох змінних

Через війну перемноження одночлена з многочленом завжди виходить многочлен.

Схема множення одночлена на багаточлен

• складається твір.
• розкриваються дужки. Для того, щоб розкрити дужки при множенні, необхідно перемножити кожен одночлен на кожен член багаточлена і скласти їх між собою.
• групуються числа з числами, однакові змінні друг з одним.
• перемножуються числа та складаються ступеня відповідних однакових змінних.

Приклад 3

Помножимо одночлен $x^2y$ на багаточлен $(x^2y^2-x^2-y^2)$

Рішення.

Складемо твір:

Розкриємо дужки:

Перемноживши, отримаємо:

Відповідь:$x^4y^3+x^4y\+(x^2y)^3$.

Твір двох багаточленів із двома змінними

Правило множення багаточлену на багаточлен: Для того, щоб помножити багаточлен на багаточлен, необхідно кожен член першого багаточлена помножити на кожен член другого багаточлену, скласти отримані твори та отриманий багаточлен привести до стандартного вигляду.

Візьмемо дві літери xі y. Твір де а- Число, називається одночленом. Його ступінь дорівнює k+l. Сума одночленів називається багаточленом. На відміну від багаточленів з однією змінною, для багаточленів з великою кількістю змінних немає загальноприйнятого стандартного запису.
Так само, як і багаточлени від однієї змінної, багаточлени від двох змінних можуть розкладатися на множники. Важливим розкладанням є розкладання різниці n-их ступенів, яке вам відомо для n=2і 3 :


Ці формули легко узагальнюються для довільного n:

Сума n-их ступенів легко розкладається у разі, коли nнепарно. Доданок можна подати у вигляді та скористатися формулою розкладання різниці n-их ступенів.

Симетричні багаточлени
Серед багаточленів від двох змінних важливу роль відіграють симетричні багаточлени, тобто багаточлени, які не змінюються при перестановці букв xі y.

Симетричний багаточлен- многочлен від n змінних , не змінюється при всіх перестановках змінних, що входять до нього.

Приклади

• Основні симетричні багаточлени - багаточлени виду

визначені для , тобто такі:

Поняття багаточлена

Визначення 1

Одночлен- Це числа, змінні, їх ступеня та твори.

Визначення 2

Багаточлен- це сума одночленів.

Приклад: $(31xy)^5+y^6+(3xz)^5$.

Визначення 4

Стандартний вид одночлена- Запис одночлена у вигляді добутку числа і натуральних ступенів змінних, що входять в одночлен.

Визначення 5

Багаточлен стандартного видуназивають багаточлен, що складається з одночленів стандартного виду, який не має таких членів.

Визначення 6

Ступінь одночлена- сума всіх ступенів змінних, що входять до одночлена.

Визначення 7

Ступінь багаточлена стандартного вигляду- Найбільший ступінь зі ступенів одночленів, що входять до нього.

Для поняття многочлена кількох змінних можна назвати окремі випадки: двучлен і трехчлен.

Визначення 8

Двучлен- багаточлен, що складається з двох членів.

Приклад: $(6b)^6+(13aс)^5$.

Визначення 9

Тричлен- багаточлен, що складається із трьох членів.

Приклад: $(xy)^5+y^6+(xz)^5$

Над многочленами можна проводити такі дії: многочлени можна складати друг з одним і віднімати друг з друга, перемножувати між собою, і навіть множити многочлен на одночлен.

Сума багаточленів

Багаточлени можна складати один з одним. Розглянемо наступний приклад.

Приклад 1

Складемо багаточлени $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$ і $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$

Першим кроком нам необхідно записати ці багаточлени як суму:

\[\left((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\right)+((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

Розкриємо дужки:

\[(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5+(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5\]

\[(2xy)^5+\ (12y)^6+(16x)^5\]

Бачимо, що результатом суми цих двох багаточленів також отримали багаточлен.

Різниця багаточленів

Приклад 2

Віднімемо з багаточлена $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$ багаточлен $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$.

Першим кроком нам необхідно записати ці багаточлени як різницю:

\[\left((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\right)-((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

Розкриємо дужки:

Нагадаємо, якщо перед дужками стоїть знак мінус, то, при розкритті дужок, знаки в дужках будуть змінюватися на протилежні.

\[(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5-(6y)^6+(xy)^5-(3x)^5\]

Наведемо подібні доданки, в результаті отримаємо:

\[(4xy)^5+(10x)^5\]

Бачимо, що результатом різниці цих двох багаточленів отримали також багаточлени.

Твори одночлена та багаточлена

Через війну перемноження одночлена з многочленом завжди виходить многочлен.

Схема множення одночлена на багаточлен.

• складається твір.
• розкриваються дужки. Для того, щоб розкрити дужки, при множенні необхідно перемножити кожен одночлен на кожен член багаточлена і скласти їх між собою.
• групуються числа з числами, однакові змінні друг з одним.
• перемножуються числа та складаються ступеня відповідних однакових змінних.

Приклад 3

Помножимо одночлен $(-m^2n)$ на багаточлен $(m^2n^2-m^2-n^2)$

Рішення.

Складемо твір:

\[(-m^2n\)\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]

Розкриємо дужки:

\[\left(-m^2n\ \right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\ \right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\)\cdot (-n^2)\]

Перемноживши, отримаємо.

Алгебра та початку математичного аналізу, 10 клас

Урок №13. Багаточлени від кількох змінних.

Перелік питань, що розглядаються у темі

1) визначення многочлена від кількох змінних;

2) поняття симетричних багаточленів;

3) формули скороченого множення для старших ступенів;

4) біном Ньютона;

5) метод невизначених коефіцієнтів.

Глосарій на тему

Багаточлен Р(х;у) називають однорідним рівнянням.

Багаточлен Р(х;у) називають симетричнимякщо він зберігає свій вигляд при одночасної заміні х на у і у на х.

симетричнимякщо Р(х; y) - симетричний многочлен.

Трикутник Паскаля -нескінченна таблиця біноміальних коефіцієнтів, що має трикутну форму. У цьому трикутнику на вершині та з боків стоять одиниці. Кожне число дорівнює сумі двох розташованих над ним чисел. Рядки трикутника симетричні щодо вертикальної осі. Названо на честь Блеза Паскаля.

Основна література:

Колягін Ю.М., Ткачова М.В, Федорова Н.Є. та ін, під ред. Жижченко О.Б. Алгебра та початку математичного аналізу (базовий та профільний рівні) 10 кл. - М.: Просвітництво, 2014.

Додаткова література:

Шабунін М.І., Ткачова М.В., Федорова Н.Є. Дидактичні матеріали Алгебра та початку математичного аналізу (базовий та профільний рівні) 10 кл. - М.: Просвітництво, 2017.

Теоретичний матеріал для самостійного вивчення

Багаточлени від кількох змінних можна складати, віднімати, перемножувати, зводити в натуральний ступінь, розкладати на множники – це вам відомо з курсу алгебри 7-9 класів. Цей урок дозволить нам дещо розширити знання багаточленів.

приклад 1.Розкласти на множники багаточленів: 2x 2 -5xy+2y 2 .

Скористаємося методом угруповання

2x 2 -5xy+2y 2= 2x 2 -4xy-xy+2y 2 = 2x(x-2y) –y(x-2y)=

приклад 2.Виведемо формулу скороченого множення для «квадрату суми» (x+y+z+u) 2 .

(x+y+z+u) 2 =((x+y)+(z+u)) 2 = (x+y) 2 +2(x+y)(z+u)+(z+u) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +u 2 +2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Отже, ми одержали (x+y+z+u) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +u 2 +2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Серед багаточленів від двох змінних виділяють однорідніі симетричнібагаточлени.

Багаточлен Р(х;у) називають однорідним багаточленом n-го ступеняякщо сума показників ступенів змінних у кожному члені багаточлена дорівнює n. Якщо Р(х;у) - однорідний многочлен, то рівняння Р(х;у) = 0 називають однорідним рівнянням.

Наведемо приклади.

1) р (х; у) = 2х + 3у - однорідний многочлен першого ступеня; відповідно 2х+3у=0 – однорідне рівняння першого ступеня.

2) р (х; у) = 3х 2 +5ху-7у 2 - однорідний многочлен другого ступеня; відповідно 3х 2 +5ху-7у 2 = 0 - однорідне рівняння другого ступеня.

3) p(x; y) = x 3 +4xy 2 -5y 3 - однорідний многочлен третього ступеня; x 3 +4xy 2 -5y 3 =0 відповідно - однорідне рівняння третього ступеня.

4) p(x; y) = a n x n +a n-1 x n-1 y+a n-2 x n-2 y 2 + …+a 1 xy n-1 +a 0 y n - загальний вигляд однорідного багаточлена n -й ступеня.

Розглянемо ще один метод розкладання багаточленів на множники.

метод невизначених коефіцієнтів.Суть методу невизначених коефіцієнтів у тому, що вид співмножників, куди розкладається даний многочлен, вгадується, а коефіцієнти цих співмножників (також многочленов) визначаються шляхом перемноження співмножників і прирівнювання коефіцієнтів за однакових ступенів змінної. Теоретичною основою методу є такі твердження

1. Два багаточлени рівні тоді і лише тоді, коли рівні їхні коефіцієнти.
2. Будь-який многочлен третього ступеня має хоча б один дійсний корінь, а тому розкладається у витвір лінійного та квадратичного співмножника.
3. Будь-який багаточлен четвертого ступеня розкладається на твір багаточленів другого ступеня.

приклад 3.Розкласти на множники багаточлен

3 х 3 – х 2 – 3 х + 1.

Рішення.Оскільки багаточлен третього ступеня розкладається у добуток лінійного та квадратичного співмножників, то будемо шукати багаточлени x – p та ax 2 + bx + c такі, що справедлива рівність 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = (x – p)(ax 2 + bx + c) = ax 3 + (b - ap) x 2 + (c - bp) x - pc. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях у лівій та правій частинах цієї рівності, отримуємо систему чотирьох рівнянь для визначення чотирьох невідомих коефіцієнтів:

Вирішуючи цю систему, отримуємо: a = 3, p = -1, b = 2, c = -1. Отже, многочлен 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 розкладається на множники: 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = (x – 1)(3 x 2 + 2 x – 1).

Слід зазначити, що є досить витончений спосіб розв'язання однорідних рівнянь. Пояснимо його суть на прикладі.

приклад 4.Розв'яжемо рівняння x 3 +4xy 2 -5y 3 =0

Зауважимо, що й у заданому рівнянні взяти х=0, то вийде у=0; це означає, що пара (0; 0) є розв'язком однорідного рівняння. Нехай тепер х. Розділимо почленно обидві частини заданого однорідного рівняння на х 3 отримаємо:

Введемо нову змінну. Тоді рівняння набуде вигляду 1+4z 2 -5z 3 =0.

(5z 3 -5z 2)+(z 2 -1)=0

5z 2 (z-1)+(z-1)(z+1)=0

(z-1)(5z 2 +z+1)=0

З рівняння z-1=0 знаходимо z=1, рівняння 5z 3 -4z 2 -1=0 дійсних коренів немає.

Якщо z=1, то , тобто. у = х. Це означає, будь-яка пара виду (t; t) є рішенням заданого однорідного рівняння. Між іншим, і зазначена нами раніше пара (0; 0) також входить до переліку рішень.

Відповідь: (t; t), де t-будь-яке дійсне число.

Тепер поговоримо про симетричні багаточлени. Багаточлен Р(х;у) називають симетричнимякщо він зберігає свій вигляд при одночасної заміні х на у і у на х. Наприклад, симетричним є двочлен x 2 y+xy 2 . Справді, при одночасної заміні х на у і у на х вийде двочлен y 2 x + yx 2 але це те ж саме, що x 2 y + xy 2 . Інші приклади симетричних багаточленів: xy, x + y, x 2 + y 2 x 3 + y 3 x 4 + y 4 і т.д. Перші два із записаних багаточленів вважаються основнимиу тому сенсі, що будь-які інші симетричні багаточлени можна подати у вигляді деякої комбінації многочленів х + у і ху.

Теорема.Будь-який симетричний многочлен Р(х;у) можна у вигляді многочлена від ху і х+у.

Наприклад,

x 2 +y 2 =(x+y) 2 -2xy

x 3 +y 3 =(x+y) 3 -3xy(x+y)

x 4 +y 4 = 2xy(x 2 +y 2)-(x 4 +y 4)+3(xy) 2 і т.д.

Рівняння Р(x; y) = а, де називають симетричнимякщо Р(х; y) - симетричний многочлен. Ми з вами розглядали його на попередньому уроці.

А тепер перейдемо до такого поняття, як біном Ньютона.

Слово біном означає "Два числа". У математиці біном називають «формулу для розкладання на окремі складові цілої невід'ємної міри суми двох змінних». Біном Ньютона - назва формули, що виражає ступінь двочлена як суми одночленів.

Давайте за Ньютоном спробуємо її вивести, щоб потім застосовувати.

Ви напевно пам'ятаєте (або принаймні повинні пам'ятати) формули скороченого множення для квадрата і куба суми двох доданків (така сума називається « біном", по російськи - двочлен.

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Якщо ви забули ці формули, можна їх отримати безпосередньо, розкривши дужки у очевидних рівностях

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)

(a+b) 3 =(a+b)(a+b)(a+b)

Можливо, вам спадало на думку питання: чи можна (без комп'ютера) отримати формули типу для біномів четвертого ступеня, п'ятого, десятого – будь-якої?

Давайте спробуємо дійти безпосередньо хоча б до п'ятого ступеня, а там, можливо, виявиться «рояль у кущах» (для порядку розміщуватимемо складові в правій частині за спаданням ступеня а, вона зменшується від максимуму до нуля):

(a+b) 4 =(a+b) 3 (a+b)=(a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3)(a+b)=a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4

(a+b) 5 =(a+b) 4 (a+b)=(a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4)(a+b)=a 5 +5a 4 b +10a 3b 2 +10a 2b 3 +5ab 4 +b 5

Тепер окремо випишемо чисельні коефіцієнти правих частинах формул при зведенні бінома в заданий ступінь:

Легко перевірити, що виписані на чисельні коефіцієнти – це рядки трикутника Паскаля, починаючи з третього. Цей «усічений трикутник», в якому не вистачає перших двох рядків, легко зробити повним (отримати рядки при n=0і n=1):

n=1, (a+b) 1 =a+b

Остаточно отримаємо:

Загальна формула бінома Ньютона:

Права частина формули називається розкладанням ступеня бінома.

Називається біноміальними коефіцієнтами, проте складові - членами бінома.

Трикутник Паскаля- Нескінченна таблиця біноміальних коефіцієнтів, що має трикутну форму. У цьому трикутнику на вершині та з боків стоять одиниці. Кожне число дорівнює сумі двох розташованих над ним чисел. Рядки трикутника симетричні щодо вертикальної осі. Названо на честь Блеза Паскаля.

Насправді, про трикутник Паскаля було відомо задовго до Паскаля - його знав, що жив у XI-XII ст. середньоазіатський математик і поет Омар Хайям (на жаль, його твір про це до нас не дійшов). Перше, що дійшло до нас опис формули бінома Ньютона міститься в книзі середньоазіатського математика ат-Тусі, що з'явилася в 1265 р., де дана таблиця чисел (біноміальних коефіцієнтів) до n=12 включно.

Європейські вчені познайомилися з формулою бінома Ньютона, мабуть, через східних математиків. Детальне вивчення властивостей біноміальних коефіцієнтів провів французький математик та філософ Б. Паскаль у 1654 р.

Наприкінці розглянемо приклад, у якому використання бінома Ньютона дозволяє довести подільність виразу задане число.

Приклад 5.

Довести, що значення виразу 5 n +28n-1, де n - натуральне число, ділиться на 16 без залишку.

Рішення: представимо перший доданок як 5 n = (4+1) n і скористаємося формулою бінома Ньютона:

Отримане твір доводить ділимість вихідного виразу на 16.

Біном Ньютона застосовується за доказом Теореми Ферма, теоретично нескінченних рядів і висновку формули Ньютона-Лейбніца

Приклади та розбори вирішення завдань тренувального модуля

З цих многочленів виділіть симетричні:

1. 2х 2 -5ху+2у 2 -6
2. 6x⁴-16xy²-6y 3 +19
3. -3ху+6х²-5у²+8
4. 16x 4 y²+16x²y 4 -x⁴-y⁴

Рішення: до цього завдання застосуємо визначення симетричних багаточленів (Многочлен Р(х;у) називають симетричним, Якщо він зберігає свій вигляд при одночасної заміні х на у і у на х). Отримаємо, що нам підходять 1 та 4 пункти.

Вірна відповідь:

1. 2х 2 -5ху+2у 2 -6
2. 6x⁴-16xy²-6y 3 +19
3. -3ху+6х²-5у²+8
4. 16x 4 y²+16x²y 4 -x⁴-y⁴

(а+b) 5 = __a 5 +___a 4 b+___a 3 b 2 +___a 2 b 3 +____ab 4 +__b 5

Рішення: для вирішення цього завдання скористаємося трикутником Паскаля

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

Нас цікавить останній рядок.

Застосувавши її, отримаємо відповідь:

(а+b) 5 = 1a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +1b 5