Polinomul, forma sa standard, gradul și coeficienții termenilor. Polinoame în mai multe variabile Suma polinoamelor în două variabile

Polinoamele din una și mai multe variabile sunt studiate în detaliu în cursul algebrei superioare. În acest capitol vom lua în considerare doar câteva întrebări ale teoriei polinoamelor cu coeficienți numerici ai mai multor variabile, care nu sunt acoperite în cursul algebrei superioare, dar cu care, totuși, fiecare profesor de matematică ar trebui să fie familiarizat.

Fie un câmp numeric arbitrar, unele variabile independente luând orice valoare din câmp

Orice produs al formei

unde A este un număr din câmpul unor numere întregi nenegative, numit monom în variabile peste câmp. Factorul numeric A se numește coeficientul monomului.

Dacă coeficientul A al unui monom este egal cu zero, atunci monomul este egal cu zero pentru orice valoare numerică a variabilelor, adică este identic egal cu zero; se numește monomul nul și se notează cu simbolul 0. Dacă coeficientul A este diferit de zero, atunci monomul se numește monomul nenul sau pe scurt non-zero.

Exponentul cu care o variabilă intră într-un monom diferit de zero se numește gradul monomului în raport cu variabila. set de variabile

Deci, de exemplu, există un monom de gradul al patrulea față de și un grad al zecelea față de un set de variabile

Nu se atribuie niciun grad monomului nul.

Două monomii diferite de zero în variabile

sunt numite similare dacă fiecare dintre variabile apare în ambele monomii în același grad, dacă Cu alte cuvinte, monomiile nenule din aceleași variabile sunt numite similare dacă diferă între ele doar prin coeficienți.

Deci, de exemplu, monomiile sunt similare.

mai multe monomii similare în variabile dintr-un câmp numeric pot fi înlocuite cu un monomiu identic

în care fiecare dintre variabile apare în același grad ca în termeni și al căror coeficient este egal cu suma coeficienților termenilor.

Într-adevăr, întrucât coeficienții aparțin câmpului numeric și operațiile de adunare și înmulțire a numerelor zero sunt legate de legea distributivă,

pentru orice valori ale variabilelor aparținând câmpului De exemplu:

Deoarece operația de înmulțire într-un câmp numeric este comutativă și asociativă, atunci produsul

mai multe monomii în variabile peste un câmp numeric este identică cu un monom

al cărui coeficient este egal cu produsul coeficienților factorilor-monomii, iar fiecare dintre variabile este inclusă în produsul-monomii într-un grad egal cu suma exponenților acestei variabile în toți factorii-monomii. În consecință, produsul mai multor monomii de forma (1) poate fi întotdeauna înlocuit cu un monomiu identic de forma (2).

De exemplu,

O expresie care se obține din variabile prin operațiile de adunare și înmulțire se numește polinom în variabile peste un câmp

De exemplu,

este un polinom în variabile peste câmpul numerelor reale.

Uneori, același polinom poate fi considerat pe câmpuri numerice diferite. Astfel, dacă coeficienții unui polinom sunt numere raționale, iar variabilele iau doar valori raționale, atunci acest polinom este considerat a fi definit în câmpul numerelor raționale. Dar întrucât numerele raționale sunt cuprinse în domeniul numerelor reale, precum și în domeniul numerelor complexe, acest polinom poate fi considerat peste câmpul numerelor reale sau complexe, presupunând că variabilele independente iau orice valori reale sau complexe. Deci, de exemplu, un polinom poate fi considerat în câmpul numerelor raționale, reale sau complexe. Deoarece ca urmare a înmulțirii și adunării numerelor de câmp obținem numere din același câmp, valorile polinomului pentru orice valori numerice ale variabilelor independente aparțin aceluiași câmp numeric peste care se ia în considerare polinomul.

În conformitate cu definiția identității a două expresii analitice, două polinoame din aceleași variabile sunt numite identice (sau identic egale) dacă, pentru orice valori numerice ale acestor variabile, valorile polinoamelor sunt egale.

Înlocuirea unui polinom cu un polinom identic se numește transformare identică a polinomului dat. Numerele incluse în polinoamele de variabile definite pe un câmp numeric și valorile variabilelor pe care le iau aparțin câmpului numeric. Prin urmare, transformările identice ale polinoamelor definite peste un câmp numeric sunt efectuate pe baza legilor operațiilor. pe numerele domeniului și regulile care decurg din aceste legi, adică bazate pe legi comutative și asociative

adunarea și înmulțirea și legea distributivă a înmulțirii adunării relative, precum și regulile operațiilor cu numerele care decurg din aceste legi.

Prin definiție, orice polinom în variabile peste un câmp numeric se formează din numerele câmpului și variabilele independente prin operațiile de adunare și înmulțire. Deschizând parantezele în polinom, dacă există, și înmulțind monomiile, obținem o sumă de formă identică cu polinomul dat

unde unele sunt numere din câmp și altele sunt numere întregi nenegative.

În consecință, orice polinom în variabile peste un câmp numeric poate fi scris ca o sumă de monomii în variabile peste câmpul P:

Prin urmare, uneori este dată următoarea definiție a unui polinom:

Un polinom în variabile peste un câmp numeric este o funcție care poate fi reprezentată ca suma mai multor monomii în variabile peste câmpul P:

Dacă printre monomiile incluse în polinomul (1) există unele similare, atunci le vom grupa, rearanjand termenii dacă este necesar și înlocuim fiecare grup de monomii similare cu un monom identic cu acesta, adică vom prezenta termeni similari.

După reducerea termenilor similari, coeficienții unor monomii pot fi egali cu zero, adică unii dintre termeni pot fi

monomii nule. Vom exclude astfel de termeni. Ca urmare a tuturor acestor lucruri, polinomul va fi scris ca o sumă de monomii diferite în perechi, identic egale cu polinomul dat. Dacă, după aducerea unor termeni similari, toți termenii polinomului sunt monoame zero, atunci polinomul va fi identic egal cu zero. Un astfel de polinom se numește polinom nul și este notat cu simbolul 0.

Scrierea unui polinom ca o sumă de monomii diferite în perechi sau ca un polinom nul se numește forma canonică sau reprezentarea canonică a polinomului. De exemplu, notația este forma canonică a polinomului

Din cele de mai sus rezultă că orice polinom din mai multe variabile poate fi scris în formă canonică. Fiecare monom din variabile este un caz special de polinom, și anume un polinom a cărui formă canonică are un singur termen.

Din mai multe variabile. Să ne amintim mai întâi conceptul de polinom și definițiile asociate acestui concept.

Definiția 1

Polinom-- este suma monomiilor.

Definiția 2

Termeni polinomi-- toate acestea sunt monomii incluse într-un polinom.

Definiția 3

Un polinom de formă standard este un polinom format din monomii de formă standard care nu are termeni similari.

Definiția 4

Gradul unui polinom de formă standard-- gradul cel mai mare al gradelor monomiilor incluse în acesta.

Să introducem acum direct definiția unui polinom în două variabile.

Definiția 5

Un polinom ai cărui termeni au doar două variabile distincte se numește polinom în două variabile.

Exemplu: $(6y)^6+(13xy)^5$.

Următoarele operații pot fi efectuate pe binoame: binoamele pot fi adăugate și scăzute unele de altele, înmulțite între ele și, de asemenea, înmulțite cu un monom și ridicate la orice putere.

Suma polinoamelor din două variabile

Să luăm în considerare suma binoamelor folosind exemplul

Exemplul 1

Să adăugăm binoamele $(xy)^5+(3x)^5$ și $(3x)^5-(xy)^5$

Soluţie.

Primul pas este să scrieți aceste polinoame ca o sumă:

\[\left((xy)^5+(3x)^5\right)+((3x)^5-(xy)^5)\]

Să extindem parantezele:

\[(xy)^5+(3x)^5+(3x)^5-(xy)^5\]

\[(6x)^5\]

Răspuns:$(6x)^5$.

Diferența de polinoame în două variabile

Exemplul 2

Scădeți din binomul $(xy)^5+(3x)^5$ binomul $(3x)^5-(xy)^5$

Soluţie.

Primul pas este să scrieți aceste polinoame ca diferență:

\[\left((xy)^5+(3x)^5\right)-((3x)^5-(xy)^5)\]

Să extindem parantezele:

Să vă reamintim că, dacă există un semn minus în fața parantezelor, atunci când parantezele sunt deschise, semnele din paranteze se vor schimba la opus.

\[(xy)^5+(3x)^5-(3x)^5+(xy)^5\]

Să prezentăm termeni similari și, ca rezultat, obținem:

\[(2xy)^5\]

Răspuns:$(2xy)^5$.

Produse ale unui monom și ale unui polinom în două variabile

Înmulțirea unui monom cu un polinom are ca rezultat întotdeauna un polinom.

Schema de înmulțire a unui monom cu un polinom

• se întocmește o lucrare.
• Parantezele se deschid. Pentru a deschide parantezele la înmulțire, trebuie să înmulțiți fiecare monom cu fiecare membru al polinomului și să le adăugați împreună.
• numerele sunt grupate cu numere care sunt aceleași variabile între ele.
• se înmulțesc numerele și se adună puterile variabilelor identice corespunzătoare.

Exemplul 3

Înmulțiți monomul $x^2y$ cu polinomul $(x^2y^2-x^2-y^2)$

Soluţie.

Să compunem o piesă:

Să extindem parantezele:

Înmulțind, obținem:

Răspuns:$x^4y^3+x^4y\ +(x^2y)^3$.

Produsul a două polinoame cu două variabile

Regula pentru înmulțirea unui polinom cu un polinom: Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, este necesar să înmulțiți fiecare termen al primului polinom cu fiecare termen al celui de-al doilea polinom, să adăugați produsele rezultate și să reduceți polinomul rezultat la un standard. formă.

Să luăm două litere XȘi y. Produs unde A– un număr numit monom. Gradul său este k+l. Suma monomiilor se numește polinom. Spre deosebire de polinoamele cu o variabilă, nu există o notație standard acceptată în general pentru polinoamele cu un număr mare de variabile.
La fel ca polinoamele dintr-o variabilă, polinoamele din două variabile pot fi factorizate. O expansiune importantă este extinderea diferențelor n- grade pe care le cunoști n=2Și 3 :


Aceste formule sunt ușor generalizate pentru arbitrare n:

Sumă n- gradele s pot fi usor extinse in cazul in care n ciudat. Termenul poate fi reprezentat ca și utilizați formula de extindere a diferențelor n- grade s.

Polinoame simetrice
Printre polinoamele din două variabile, polinoamele simetrice joacă un rol important, adică polinoamele care nu se schimbă atunci când literele sunt rearanjate. XȘi y.

Polinom simetric- un polinom în n variabile care nu se modifică cu toate permutările variabilelor incluse în acesta.

Exemple

• Polinoame simetrice de bază - polinoame de formă

specific pentru , adică acestea:

Conceptul de polinom

Definiția 1

Monomial- acestea sunt numerele, variabilele, puterile și produsele lor.

Definiția 2

Polinom-- este suma monomiilor.

Exemplu: $(31xy)^5+y^6+(3xz)^5$.

Definiția 4

Forma standard de monom-- înregistrarea unui monom ca produs al numărului și puterilor naturale ale variabilelor incluse în monom.

Definiția 5

Polinom de formă standard este un polinom format din monomii de formă standard care nu are membri similari.

Definiția 6

Puterea unui monom-- suma tuturor puterilor variabilelor incluse în monom.

Definiția 7

Gradul unui polinom de formă standard-- gradul cel mai mare al gradelor monomiilor incluse în acesta.

Pentru conceptul de polinom de mai multe variabile se pot distinge cazuri speciale: binom și trinom.

Definiția 8

Binom-- un polinom format din doi termeni.

Exemplu: $(6b)^6+(13aс)^5$.

Definiția 9

Trinom-- un polinom format din trei termeni.

Exemplu: $(xy)^5+y^6+(xz)^5$

Următoarele operații pot fi efectuate pe polinoame: polinoamele pot fi adunate și scăzute unele de altele, înmulțite între ele și, de asemenea, înmulțite cu un monom.

Suma polinoamelor

Polinoamele pot fi adăugate între ele. Luați în considerare următorul exemplu.

Exemplul 1

Să adăugăm polinoamele $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$ și $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$

Primul pas este să scrieți aceste polinoame ca o sumă:

\[\left((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\right)+((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

Să extindem parantezele:

\[(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5+(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5\]

\[(2xy)^5+\ (12y)^6+(16x)^5\]

Vedem că suma acestor două polinoame a rezultat și într-un polinom.

Diferența de polinoame

Exemplul 2

Scădeți polinomul $(6y)^6-(xy)^5+(3x)^5$ din polinomul $(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5$.

Primul pas este să scrieți aceste polinoame ca diferență:

\[\left((3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5\right)-((6y)^6-(xy)^5+(3x)^5)\]

Să extindem parantezele:

Să vă reamintim că, dacă există un semn minus în fața parantezelor, atunci când parantezele sunt deschise, semnele din paranteze se vor schimba la opus.

\[(3xy)^5+\ (6y)^6+(13x)^5-(6y)^6+(xy)^5-(3x)^5\]

Să prezentăm termeni similari și, ca rezultat, obținem:

\[(4xy)^5+(10x)^5\]

Vedem că rezultatul diferenței acestor două polinoame a rezultat și într-un polinom.

Produse ale unui monom și ale unui polinom

Înmulțirea unui monom cu un polinom are ca rezultat întotdeauna un polinom.

Schema de înmulțire a unui monom cu un polinom.

• se întocmește o lucrare.
• Parantezele se deschid. Pentru a deschide parantezele, atunci când înmulțiți, trebuie să înmulțiți fiecare monom cu fiecare membru al polinomului și să le adăugați.
• numerele sunt grupate cu numere care sunt aceleași variabile între ele.
• se înmulțesc numerele și se adună puterile variabilelor identice corespunzătoare.

Exemplul 3

Înmulțiți monomul $(-m^2n)$ cu polinomul $(m^2n^2-m^2-n^2)$

Soluţie.

Să compunem o piesă:

\[(-m^2n\)\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]

Să extindem parantezele:

\[\left(-m^2n\\right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\\right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\)\cdot (-n^2)\]

Înmulțind, obținem.

Algebra și începuturile analizei matematice, clasa a 10-a

Lecția #13. Polinoame în mai multe variabile.

Lista problemelor discutate în subiect

1) definirea unui polinom în mai multe variabile;

2) conceptul de polinoame simetrice;

3) formule de multiplicare prescurtate pentru puteri superioare;

4) Binomul lui Newton;

5) metoda coeficienților incerti.

Glosar pe tema

Polinomul P(x;y) se numește ecuație omogenă.

Polinomul P(x;y) se numește simetric, dacă își păstrează aspectul când x este înlocuit simultan cu y și y cu x.

simetric, dacă P(x;y) este un polinom simetric.

triunghiul lui Pascal - un tabel infinit de coeficienți binomi având formă triunghiulară. În acest triunghi, există unele în partea de sus și pe laterale. Fiecare număr este egal cu suma celor două numere de deasupra lui. Liniile triunghiului sunt simetrice față de axa verticală. Numit după Blaise Pascal.

Literatura principala:

Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. şi alţii, ed. Jizhcenko A.B. Algebra si inceputurile analizei matematice (nivel de baza si de specialitate) clasa a X-a. – M.: Educație, 2014.

Literatură suplimentară:

Shabunin M.I., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. Materiale didactice Algebră şi începuturi de analiză matematică (nivel de bază şi de specialitate) Clasa a X-a. – M.: Educație, 2017.

Material teoretic pentru auto-studiu

Polinoamele mai multor variabile pot fi adunate, scăzute, înmulțite, ridicate la o putere naturală și factorizate - știți asta de la cursul de algebră de clasa a 7-a-9. Această lecție ne va permite să ne extindem oarecum cunoștințele despre polinoame.

Exemplul 1. Factorizați polinomul: 2x 2 -5xy+2y 2 .

Să folosim metoda de grupare

2x 2 -5xy+2y 2= 2x 2 -4xy-xy+2y 2 = 2x(x-2y) –y(x-2y)=

Exemplul 2. Să derivăm formula de înmulțire prescurtată pentru „pătratul sumei” (x+y+z+u) 2 .

(x+y+z+u) 2 =((x+y)+(z+u)) 2 = (x+y) 2 +2(x+y)(z+u)+(z+u) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +u 2 +2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Deci avem (x+y+z+u) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +u 2 +2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Printre polinoamele în două variabile există omogenȘi simetric polinomiale.

Polinomul P(x;y) se numește polinom omogen de gradul al n-lea, dacă suma exponenților variabilelor din fiecare termen al polinomului este egală cu n. Dacă P(x;y) este un polinom omogen, atunci ecuația P(x;y) = 0 se numește ecuație omogenă.

Să dăm exemple.

1) p(x;y)=2x+3y – polinom omogen de gradul I; în consecință, 2x+3y=0 este o ecuație omogenă de gradul I.

2) p(x; y) = 3x 2 + 5xy-7y 2 - polinom omogen de gradul II; în consecință, 3x 2 +5xy-7y 2 =0 este o ecuație omogenă de gradul doi.

3) p(x; y)= x 3 +4xy 2 -5y 3 - polinom omogen de gradul III; x 3 +4xy 2 -5y 3 =0, respectiv, este o ecuație omogenă de gradul trei.

4) p(x; y)= a n x n +a n-1 x n-1 y+a n-2 x n-2 y 2 + …+a 1 xy n-1 +a 0 y n - forma generală a omogenului polinom de gradul n.

Să luăm în considerare o altă metodă de factorizare a polinoamelor -

metoda coeficienților nedeterminați. Esența metodei coeficienților nedeterminați este că se ghicește tipul de factori în care se descompune un anumit polinom, iar coeficienții acestor factori (și polinoame) sunt determinați prin înmulțirea factorilor și echivalarea coeficienților la aceleași puteri ale variabil. Baza teoretică a metodei sunt următoarele afirmații

1. Două polinoame sunt egale dacă și numai dacă coeficienții lor sunt egali.
2. Orice polinom de gradul trei are cel puțin o rădăcină reală și, prin urmare, se descompune în produsul dintre un factor liniar și unul pătratic.
3. Orice polinom de gradul al patrulea poate fi descompus într-un produs de polinoame de gradul doi.

Exemplul 3. Factorizați un polinom

3 x 3 – x 2 – 3 x + 1.

Soluţie. Deoarece un polinom de gradul al treilea este descompus în produsul factorilor liniari și pătratici, vom căuta polinoamele x – p și ax 2 + bx + c astfel încât egalitatea 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = ( x – p)(ax) este adevărat 2 + bx + c) = ax 3 + (b – ap) x 2 + (c – bp) x – pc. Echivalând coeficienții la aceleași grade pe părțile stânga și dreaptă ale acestei egalități, obținem un sistem de patru ecuații pentru determinarea a patru coeficienți necunoscuți:

Rezolvând acest sistem, obținem: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1. Deci, polinomul 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 este factorizat: 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = (x – 1)(3 x 2 + 2 x – 1).

Este de remarcat faptul că există o modalitate destul de elegantă de a rezolva ecuațiile omogene. Să explicăm esența sa printr-un exemplu.

Exemplul 4. Rezolvați ecuația x 3 +4xy 2 -5y 3 =0

Rețineți că dacă luăm x=0 în ecuația dată, obținem y=0; aceasta înseamnă că perechea (0; 0) este o soluție a unei ecuații omogene. Fie acum x. Să împărțim ambele părți ale ecuației omogene date la x 3 termen cu termen, obținem:

Să introducem o nouă variabilă. Atunci ecuația va lua forma 1+4z 2 -5z 3 =0.

(5z3-5z2)+(z2-1)=0

5z2 (z-1)+(z-1)(z+1)=0

(z-1)(5z2 +z+1)=0

Din ecuația z-1=0 găsim z=1, ecuația 5z 3 -4z 2 -1=0 nu are rădăcini reale.

Dacă z=1, atunci , i.e. y=x. Aceasta înseamnă că orice pereche de forma (t; t) este o soluție la o ecuație omogenă dată. Apropo, perechea (0; 0) pe care am observat-o mai devreme este de asemenea inclusă în lista de soluții specificată.

Răspuns: (t; t), unde t este orice număr real.

Acum să vorbim despre polinoame simetrice. Polinomul P(x;y) se numește simetric, dacă își păstrează aspectul când x este înlocuit simultan cu y și y cu x. De exemplu, binomul x 2 y+xy 2 este simetric. De fapt, dacă înlocuiți simultan x cu y și y cu x, obțineți binomul y 2 x+yx 2 , dar acesta este același cu x 2 y+xy 2 . Alte exemple de polinoame simetrice: xy, x+y, x 2 +y 2, x 3 +y 3, x 4 +y 4 etc. Sunt luate în considerare primele două dintre polinoamele scrise principalîn sensul că orice alte polinoame simetrice pot fi reprezentate ca o combinație de polinoame x + y și xy.

Teorema. Orice polinom simetric P(x;y) poate fi reprezentat ca polinom în xy și x+y.

De exemplu,

x2 +y2 =(x+y)2-2xy

x 3 +y 3 =(x+y) 3 -3xy(x+y)

x 4 +y 4 = 2xy(x 2 +y 2)-(x 4 +y 4)+3(xy) 2 etc.

Ecuația P(x;y) = a, unde , se numește simetric, dacă P(x;y) este un polinom simetric. Ne-am uitat la asta în lecția anterioară.

Acum să trecem la un astfel de concept precum binomul lui Newton.

Cuvântul binom înseamnă „două numere”. În matematică, un binom este numit „o formulă pentru descompunerea unei puteri întregi nenegative a sumei a două variabile în termeni individuali”. Binomul lui Newton este numele unei formule care exprimă gradul unui binom ca sumă de monomii.

Să-l urmăm pe Newton și să încercăm să-l derivăm astfel încât apoi să îl putem aplica.

Probabil vă amintiți (sau cel puțin ar trebui să vă amintiți) formulele de înmulțire abreviate pentru pătratul și cubul sumei a doi termeni (această sumă se numește „ binom", in rusa - binom.

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Dacă ați uitat aceste formule, le puteți obține direct deschizând parantezele în egalități evidente

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)

(a+b) 3 =(a+b)(a+b)(a+b)

Poate ți-a venit întrebarea: este posibil (fără computer) să obții formule de tipul binomurilor de gradul al patrulea, al cincilea, al zecelea - orice ar fi?

Să încercăm să ajungem direct la cel puțin gradul al cincilea și acolo, poate, va exista un „pian în tufișuri” (de dragul ordinii, vom plasa termenii în partea dreaptă în ordine descrescătoare A, scade de la maxim la zero):

(a+b) 4 =(a+b) 3 (a+b)=(a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3)(a+b)=a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4

(a+b) 5 =(a+b) 4 (a+b)=(a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4)(a+b)=a 5 +5a 4 b +10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +b 5

Acum să scriem separat coeficienții numerici din partea dreaptă a formulelor atunci când ridicăm un binom la o putere dată:

Este ușor de verificat că coeficienții numerici înscriși sunt liniile triunghiului lui Pascal, începând de la al treilea. Acest „triunghi trunchiat”, din care lipsesc primele două linii, poate fi complet complet (obțineți liniile prin n=0Și n=1):

n=1, (a+b) 1 =a+b

În sfârșit obținem:

Formula generală pentru binomul lui Newton:

Partea dreaptă a formulei se numește extinderea puterii binomului.

Se numesc coeficienți binomi, iar toți termenii se numesc termeni binomi.

triunghiul lui Pascal- un tabel infinit de coeficienți binomi având formă triunghiulară. În acest triunghi, există unele în partea de sus și pe laterale. Fiecare număr este egal cu suma celor două numere de deasupra lui. Liniile triunghiului sunt simetrice față de axa verticală. Numit după Blaise Pascal.

De fapt, triunghiul lui Pascal era cunoscut cu mult înainte de Pascal - era cunoscut de cineva care a trăit în secolele XI-XII. Matematicianul și poetul din Asia Centrală Omar Khayyam (din păcate, lucrarea sa în acest sens nu a ajuns la noi). Prima descriere a formulei binomiale a lui Newton care a ajuns până la noi este cuprinsă în cartea matematicianului din Asia Centrală al-Tusi, apărută în 1265, unde este dat un tabel de numere (coeficienți binomii) până la n=12 inclusiv.

Oamenii de știință europeni au făcut cunoștință cu formula binomială a lui Newton, aparent prin intermediul matematicienilor estici. Un studiu detaliat al proprietăților coeficienților binomi a fost efectuat de matematicianul și filozoful francez B. Pascal în 1654.

În concluzie, luăm în considerare un exemplu în care utilizarea binomului lui Newton ne permite să demonstrăm divizibilitatea unei expresii cu un număr dat.

Exemplul 5.

Demonstrați că valoarea expresiei 5 n +28n-1, unde n este un număr natural, este divizibilă cu 16 fără rest.

Rezolvare: imaginați-vă primul termen al expresiei ca 5 n = (4+1) n și folosiți formula binomială a lui Newton:

Produsul rezultat demonstrează divizibilitatea expresiei originale cu 16.

Binomul lui Newton este folosit în demonstrarea teoremei lui Fermat, în teoria seriilor infinite și în derivarea formulei Newton-Leibniz

Exemple și analize de rezolvare a sarcinilor modulului de formare

Din aceste polinoame, selectați-le pe cele simetrice:

1. 2x2-5xy+2y2-6
2. 6x⁴-16xy²-6y 3 +19
3. -3xy+6x²-5y²+8
4. 16x 4 y²+16x²y 4 -x⁴-y⁴

Rezolvare: aplicăm definiția polinoamelor simetrice acestei probleme (Polinomul P(x;y) se numește simetric, dacă își păstrează forma când x este înlocuit simultan cu y și y cu x). Constatăm că punctele 1 și 4 ni se potrivesc.

Răspuns corect:

1. 2x2-5xy+2y2-6
2. 6x⁴-16xy²-6y 3 +19
3. -3xy+6x²-5y²+8
4. 16x 4 y²+16x²y 4 -x⁴-y⁴

(a+b) 5 = __a 5 +___a 4 b+___a 3 b 2 +___a 2 b 3 +___ab 4 +__b 5

Soluție: pentru a rezolva această problemă vom folosi triunghiul lui Pascal

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

Ne interesează ultima linie.

Aplicând-o, obținem răspunsul:

(a+b) 5 = 1a 5 +5a 4 b+10a 3 b 2 +10a 2 b 3 +5ab 4 +1b 5