كيف نحسب مركز ثقل الشكل المسطح باستخدام التكامل المزدوج؟ مواقع مركز ثقل بعض الأشكال صيغ لتحديد موضع مركز ثقل الجسم.

6.1. معلومات عامة

مركز القوى الموازية
دعونا نفكر في قوتين متوازيتين موجهتين في اتجاه واحد، ومؤثرتين على الجسم عند نقاط أ 1 و أ 2 (الشكل 6.1). يحتوي نظام القوى هذا على نتيجة يمر خط عملها عبر نقطة معينة مع. موقف النقطة معيمكن العثور عليها باستخدام نظرية Varignon:

إذا قمت بتشغيل القوات وبالقرب من النقاط أ 1 و أ 2 في اتجاه واحد وبنفس الزاوية، ثم نحصل على نظام جديد من الصالات المتوازية لها نفس الوحدات. في هذه الحالة، سوف يمر الناتج أيضًا عبر هذه النقطة مع. وتسمى هذه النقطة مركز القوى المتوازية.
دعونا نفكر في نظام من القوى المتوازية والموجهة بشكل مماثل مطبقة على جسم صلب عند نقاط. هذا النظام له نتيجة.
إذا تم تدوير كل قوة في النظام بالقرب من نقاط تطبيقها في نفس الاتجاه وبنفس الزاوية، فسيتم الحصول على أنظمة جديدة ذات قوى متوازية موجهة بشكل متطابق بنفس الوحدات ونقاط التطبيق. سيكون الناتج عن هذه الأنظمة له نفس المعامل رولكن في كل مرة اتجاه مختلف. وقد مطوية قوتي F 1 و F 2 نجد أن الناتج عنها ر 1، والتي سوف تمر دائما من خلال هذه النقطة مع 1، يتم تحديد موقفها من خلال المساواة. قابلة للطي أكثر ر 1 و F 3، نجد الناتج، والذي سوف يمر دائما من خلال هذه النقطة مع 2 الاستلقاء على خط مستقيم أ 3 مع 2. بعد الانتهاء من عملية إضافة القوى إلى النهاية، سنصل إلى نتيجة مفادها أن محصلة جميع القوى ستمر دائمًا بنفس النقطة مع، والذي لن يتغير موضعه بالنسبة للنقاط.
نقطة مع، والذي يمر من خلاله خط عمل النظام الناتج للقوى المتوازية لأي دوران لهذه القوى بالقرب من نقاط تطبيقها في نفس الاتجاه وبنفس الزاوية يسمى مركز القوى المتوازية (الشكل 6.2).

الشكل 6.2

دعونا نحدد إحداثيات مركز القوى المتوازية. منذ موقف هذه النقطة معبالنسبة للجسم لم يتغير، فإن إحداثياته ​​لا تعتمد على اختيار نظام الإحداثيات. دعونا ندير جميع القوى حول تطبيقها بحيث تصبح موازية للمحور الوحدة التنظيميةوتطبيق نظرية فارينيون على القوى الدائرية. لأن ص"هو محصلة هذه القوى، إذن، وفقًا لنظرية فارينون ، لأن ، ، نحن نحصل

ومن هنا نجد إحداثيات مركز القوى الموازية zc:

لتحديد الإحداثيات xcلنقم بإنشاء تعبير لعزم القوى حول المحور أوز.

لتحديد الإحداثيات ycدعونا نحول جميع القوى بحيث تصبح موازية للمحور أوز.

يمكن تحديد موضع مركز القوى المتوازية بالنسبة إلى الأصل (الشكل 6.2) من خلال ناقل نصف القطر:

6.2. مركز ثقل الجسم الصلب

مركز الجاذبيةمن جسم صلب هي نقطة مرتبطة دائمًا بهذا الجسم مع، الذي يمر من خلاله خط عمل قوى الجاذبية الناتجة لجسم معين، لأي موضع للجسم في الفضاء.
يستخدم مركز الثقل في دراسة ثبات مواضع توازن الأجسام والوسائط المستمرة تحت تأثير الجاذبية وفي بعض الحالات الأخرى وهي: في قوة المواد وفي الميكانيكا الإنشائية - عند استخدام قاعدة فيريشاجين.
هناك طريقتان لتحديد مركز ثقل الجسم: التحليلية والتجريبية. الطريقة التحليلية لتحديد مركز الثقل تنبع مباشرة من مفهوم مركز القوى المتوازية.
يتم تحديد إحداثيات مركز الثقل، كمركز للقوى المتوازية، بواسطة الصيغ:

أين ر- وزن الجسم كله؛ pk- وزن جزيئات الجسم. س ك، يك، زك- إحداثيات جزيئات الجسم.
للحصول على جسم متجانس، يتناسب وزن الجسم بأكمله وأي جزء منه مع الحجم P=Vγ, pk = vk γ، أين γ - الوزن لكل وحدة حجم، الخامس- حجم الجسم. استبدال التعبيرات ص, pkفي صيغة تحديد إحداثيات مركز الثقل والاختزال بعامل مشترك γ ، نحن نحصل:

نقطة مع، والتي يتم تحديد إحداثياتها بواسطة الصيغ الناتجة، تسمى مركز ثقل الحجم.
إذا كان الجسم عبارة عن صفيحة رقيقة متجانسة، فسيتم تحديد مركز الثقل بالصيغة:

أين س- مساحة اللوحة بأكملها؛ كورونا- مساحة الجزء الخاص به؛ س ك، ك- إحداثيات مركز ثقل أجزاء اللوحة.
نقطة معفي هذه الحالة يطلق عليه مركز ثقل المنطقة.
يتم استدعاء بسط التعبيرات التي تحدد إحداثيات مركز ثقل الأشكال المستوية بـ لحظات ثابتة من المنطقةنسبة إلى المحاور فيو X:

ثم يمكن تحديد مركز ثقل المنطقة بالصيغة:

بالنسبة للأجسام التي يكون طولها أكبر بعدة مرات من أبعاد المقطع العرضي، يتم تحديد مركز ثقل الخط. يتم تحديد إحداثيات مركز ثقل الخط بواسطة الصيغ:

أين ل- طول الخط؛ lk- طول أجزائه؛ س ك، يك، زك- إحداثيات مركز ثقل أجزاء الخط.

6.3. طرق تحديد إحداثيات مراكز ثقل الأجسام

استنادا إلى الصيغ التي تم الحصول عليها، من الممكن اقتراح طرق عملية لتحديد مراكز ثقل الأجسام.
1. تناظر. إذا كان لجسم مركز تماثل، فإن مركز ثقله يقع في مركز التماثل.
إذا كان الجسم لديه مستوى من التماثل. على سبيل المثال، مستوى XOU، فإن مركز الثقل يقع في هذا المستوى.
2. شق. بالنسبة للأجسام المكونة من أجسام ذات أشكال بسيطة، يتم استخدام طريقة التقسيم. ينقسم الجسم إلى أجزاء يتم تحديد مركز ثقلها بطريقة التناظر. يتم تحديد مركز ثقل الجسم بالكامل من خلال صيغ مركز ثقل الحجم (المنطقة).

مثال. حدد مركز ثقل اللوحة الموضح في الشكل أدناه (الشكل 6.3). يمكن تقسيم اللوحة إلى مستطيلات بطرق مختلفة ويمكن تحديد إحداثيات مركز ثقل كل مستطيل ومساحته.

الشكل 6.3

إجابة: سج= 17.0 سم؛ ذج= 18.0 سم.

3. إضافة. هذه الطريقة هي حالة خاصة لطريقة التقسيم. يتم استخدامه عندما يكون بالجسم قواطع أو شرائح أو ما إلى ذلك، إذا كانت إحداثيات مركز ثقل الجسم بدون الفتحة معروفة.

مثال. تحديد مركز ثقل لوحة دائرية ذات نصف قطر مقطوع ص = 0,6 ر(الشكل 6.4).

الشكل 6.4

تحتوي اللوحة المستديرة على مركز تناظر. دعونا نضع أصل الإحداثيات في وسط اللوحة. منطقة اللوحة بدون انقطاع، منطقة القطع. لوحة مربعة مع انقطاع. .
اللوحة ذات القطع لها محور تناظر О1 ×، لذلك، yc=0.

4. اندماج. إذا لم يكن من الممكن تقسيم الجسم إلى عدد محدود من الأجزاء، ومواقع مراكز ثقلها معروفة، يتم تقسيم الجسم إلى أحجام صغيرة عشوائية، والتي تأخذ الصيغة باستخدام طريقة التقسيم الشكل: .
ثم يذهبون إلى الحد الأقصى، ويوجهون المجلدات الأولية إلى الصفر، أي. تقلص الكميات إلى نقاط. يتم استبدال المجاميع بالتكاملات الممتدة على كامل حجم الجسم، ثم تأخذ صيغ تحديد إحداثيات مركز ثقل الحجم الشكل:

صيغ تحديد إحداثيات مركز ثقل المنطقة:

يجب تحديد إحداثيات مركز ثقل المنطقة عند دراسة توازن الصفائح عند حساب تكامل موهر في الميكانيكا الإنشائية.

مثال. تحديد مركز ثقل قوس دائري نصف قطره رمع الزاوية المركزية AOB= 2α (الشكل 6.5).

أرز. 6.5

قوس الدائرة متماثل مع المحور أوهوبالتالي فإن مركز ثقل القوس يقع على المحور أوه, نعم = 0.
وفقًا لصيغة مركز ثقل الخط:

6.الطريقة التجريبية. يمكن تحديد مراكز ثقل الأجسام غير المتجانسة ذات التكوين المعقد بشكل تجريبي: عن طريق التعليق والوزن. الطريقة الأولى هي تعليق الجسم على كابل في نقاط مختلفة. اتجاه الكابل الذي تم تعليق الجسم عليه سيعطي اتجاه الجاذبية. وتحدد نقطة تقاطع هذه الاتجاهات مركز ثقل الجسم.
تتضمن طريقة الوزن أولاً تحديد وزن الجسم، مثل السيارة. ثم يتم تحديد ضغط المحور الخلفي للمركبة على الدعم على المقاييس. من خلال رسم معادلة التوازن بالنسبة لنقطة ما، على سبيل المثال، محور العجلات الأمامية، يمكنك حساب المسافة من هذا المحور إلى مركز ثقل السيارة (الشكل 6.6).

الشكل 6.6

في بعض الأحيان، عند حل المشكلات، من الضروري استخدام طرق مختلفة لتحديد إحداثيات مركز الثقل في وقت واحد.

6.4. مراكز ثقل بعض الأشكال الهندسية البسيطة

لتحديد مراكز ثقل الأجسام ذات الأشكال المتكررة (مثلث، قوس دائري، قطاع، قطعة)، من الملائم استخدام البيانات المرجعية (الجدول 6.1).

الجدول 6.1

إحداثيات مركز ثقل بعض الأجسام المتجانسة

№	اسم الشكل	رسم
	قوس الدائرة: مركز ثقل قوس الدائرة المنتظمة يقع على محور التماثل ( الإحداثي جامعة كاليفورنيا=0). ر- نصف قطر الدائرة.
	قطاع دائري متجانس جامعة كاليفورنيا=0). حيث α نصف الزاوية المركزية؛ ر- نصف قطر الدائرة.
	شريحة: يقع مركز الثقل على محور التماثل (الإحداثي جامعة كاليفورنيا=0). حيث α نصف الزاوية المركزية؛ ر- نصف قطر الدائرة.
	نصف دائرة:
	مثلث: يقع مركز ثقل المثلث المتجانس عند نقطة تقاطع متوسطاته. أين x1، y1، x2، y2، x3، y3- إحداثيات رؤوس المثلث
	مخروط: يقع مركز ثقل المخروط الدائري المنتظم عند ارتفاعه ويقع على مسافة ربع الارتفاع من قاعدة المخروط.

استنادا إلى الصيغ العامة التي تم الحصول عليها أعلاه، من الممكن الإشارة إلى طرق محددة لتحديد إحداثيات مراكز ثقل الأجسام.

1. تناظر.إذا كان للجسم المتجانس مستوى أو محور أو مركز تماثل (الشكل 7)، فإن مركز ثقله يقع، على التوالي، في مستوى التماثل أو محور التماثل أو في مركز التماثل.

الشكل 7

2. شق.وينقسم الجسم إلى عدد محدود من الأجزاء (الشكل 8)، لكل منها موقع مركز الثقل ومساحته معروفان.

الشكل 8

3.طريقة المنطقة السلبيةحالة خاصة لطريقة التقسيم (الشكل 9). ويسري على الأجسام التي لها قواطع إذا كانت مراكز ثقل الجسم دون القاطع والجزء المقطوع معروفة. يتم تمثيل الجسم على شكل صفيحة ذات قطع بمزيج من صفيحة صلبة (بدون قطع) بمساحة S 1 ومساحة الجزء المقطوع S 2 .

الشكل 9

4.طريقة التجميع.إنه تكملة جيدة للطريقتين الأخيرتين. بعد تقسيم الشكل إلى العناصر المكونة له، يكون من المناسب دمج بعضها مرة أخرى لتبسيط الحل بعد ذلك مع مراعاة تماثل هذه المجموعة.

مراكز ثقل بعض الأجسام المتجانسة.

1) مركز ثقل القوس الدائري.النظر في القوس أ.بنصف القطر رمع زاوية مركزية. بسبب التماثل، يقع مركز ثقل هذا القوس على المحور ثور(الشكل 10).

الشكل 10

دعونا نجد الإحداثيات باستخدام الصيغة. للقيام بذلك، حدد على القوس أ.بعنصر مم'الطول، ويتم تحديد موضعه بواسطة الزاوية. تنسيق Xعنصر مم'سوف . استبدال هذه القيم Xو د لومع الأخذ في الاعتبار أن التكامل يجب أن يمتد على كامل طول القوس، نحصل على:

أين ل- طول القوس أ.ب، يساوي .

من هنا نجد أخيرا أن مركز ثقل القوس الدائري يقع على محور تماثله على مسافة من المركز عن، متساوي

حيث يتم قياس الزاوية بالراديان.

2) مركز ثقل منطقة المثلث .النظر في مثلث يقع في الطائرة أوكسي، إحداثيات رؤوسها معروفة: أ(× ط,ذ ط), (أنا= 1،2،3). كسر المثلث إلى شرائح ضيقة موازية للجانب أ 1 أفي الشكل 2، توصلنا إلى استنتاج مفاده أن مركز ثقل المثلث يجب أن ينتمي إلى الوسيط أ 3 م 3 (الشكل 11).

الشكل 11

كسر المثلث إلى شرائح موازية للجانب أ 2 أ 3، يمكننا التحقق من أنه يجب أن يقع على الوسيط أ 1 م 1 . هكذا، يقع مركز ثقل المثلث عند نقطة تقاطع متوسطاتهوالذي كما هو معروف يفصل ثلثا من كل وسيط محسوبا من الجانب المقابل.

على وجه الخصوص، للوسيط أ 1 م 1 نحصل على، مع الأخذ في الاعتبار أن إحداثيات النقطة م 1 هو الوسط الحسابي لإحداثيات القمم أ 2 و أ 3:

س ج = س 1 + (2/3)∙(× م 1 - س 1) = س 1 + (2/3)∙[(س 2 + س 3)/2-س 1 ] = (س 1 +س 2 +س 3)/3.

وبالتالي فإن إحداثيات مركز ثقل المثلث هي الوسط الحسابي لإحداثيات رءوسه:

س ج =(1/3)Σ × ط ; ذ ج =(1/3)Σ ذ ط.

3) مركز ثقل مساحة القطاع الدائري.النظر في قطاع من الدائرة مع نصف القطر ربزاوية مركزية قدرها 2α، تقع بشكل متناظر بالنسبة للمحور ثور(الشكل 12) .

من الواضح أن ذ ج = 0، ويمكن تحديد المسافة من مركز الدائرة التي يقطع منها هذا القطاع إلى مركز ثقله بالصيغة:

الشكل 12

أسهل طريقة لحساب هذا التكامل هي تقسيم مجال التكامل إلى قطاعات أولية بزاوية دφ. بدقة متناهية في الصغر من الدرجة الأولى، يمكن استبدال هذا القطاع بمثلث قاعدته تساوي ر× دφ والارتفاع ر. مساحة هذا المثلث مدافع=(1/2)ر 2 ∙دφ، ومركز ثقله على مسافة 2/3 رمن الرأس، لذلك في (5) نضع س = (2/3)ر∙كوسφ. الاستبدال في (5) F= α ر 2 نحصل على:

باستخدام الصيغة الأخيرة، نحسب، على وجه الخصوص، المسافة إلى مركز الثقل نصف دائرة.

بالتعويض α = π/2 في (2)، نحصل على: س ج = (4ر)/(3π) ≅ 0.4 ر .

مثال 1.دعونا نحدد مركز ثقل الجسم المتجانس الموضح في الشكل. 13.

الشكل 13

الجسم متجانس ويتكون من جزأين لهما شكل متماثل. إحداثيات مراكز ثقلها:

مجلداتهم:

وبالتالي فإن إحداثيات مركز ثقل الجسم

مثال 2.دعونا نوجد مركز ثقل صفيحة مثنية بزاوية قائمة. الأبعاد موجودة في الرسم (الشكل 14).

الشكل 14

إحداثيات مراكز الثقل:

المناطق:

أرز. 6.5.

مثال 3.تحتوي الورقة المربعة سم على فتحة مربعة مقطوعة سم (الشكل 15). دعونا نجد مركز ثقل الورقة.

الشكل 15

في هذه المشكلة، يكون من الملائم أكثر تقسيم الجسم إلى قسمين: مربع كبير وفتحة مربعة. يجب اعتبار مساحة الحفرة فقط سلبية. ثم إحداثيات مركز ثقل الورقة مع الثقب:

تنسيق لأن الجسم لديه محور التماثل (قطري).

مثال 4.يتكون قوس السلك (الشكل 16) من ثلاثة أقسام متساوية الطول ل.

الشكل 16

إحداثيات مراكز ثقل المقاطع:

وبالتالي فإن إحداثيات مركز ثقل القوس بأكمله هي:

مثال 5.حدد موضع مركز ثقل الجمالون، حيث أن جميع قضبانها لها نفس الكثافة الخطية (الشكل 17).

دعونا نتذكر أنه في الفيزياء ترتبط كثافة الجسم ρ وثقله النوعي g بالعلاقة: γ= ρ ز، أين ز- تسارع الجاذبية. للعثور على كتلة مثل هذا الجسم المتجانس، تحتاج إلى مضاعفة الكثافة بحجمها.

الشكل 17

مصطلح الكثافة "الخطية" أو "الخطية" يعني أنه لتحديد كتلة قضيب الجمالون، يجب ضرب الكثافة الخطية بطول هذا القضيب.

لحل المشكلة يمكنك استخدام طريقة التقسيم. بتمثيل الجمالون المعين كمجموع 6 قضبان فردية، نحصل على:

أين ل ططول أناقضيب الجمالون، و × ط, ذ ط- إحداثيات مركز ثقلها.

يمكن تبسيط حل هذه المشكلة من خلال تجميع آخر 5 أشرطة من الجمالون. ومن السهل أن نرى أنهم يشكلون شكلاً يقع مركز تناظره في منتصف القضيب الرابع، حيث يقع مركز ثقل هذه المجموعة من القضبان.

وبالتالي، يمكن تمثيل الجمالون المعين بمزيج من مجموعتين فقط من القضبان.

المجموعة الأولى تتكون من العصا الأولى لذلك ل 1 = 4 م، س 1 = 0 م، ذ 1 = 2 م المجموعة الثانية من القضبان تتكون من خمسة قضبان لها ل 2 = 20 م، س 2 = 3 م، ذ 2 = 2 م.

تم العثور على إحداثيات مركز ثقل الجمالون باستخدام الصيغة:

س ج = (ل 1 ∙س 1 +ل 2 ∙س 2)/(ل 1 + ل 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 م؛

ذ ج = (ل 1 ∙ذ 1 +ل 2 ∙ذ 2)/(ل 1 + ل 2) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 م.

علماً بأن المركز معتقع على خط مستقيم متصل مع 1 و مع 2 ويقسم الجزء مع 1 مع 2 بخصوص: مع 1 مع/سس 2 = (س ج - س 1)/(س 2 - س ج ) = ل 2 /ل 1 = 2,5/0,5.

أسئلة الاختبار الذاتي

ماذا يسمى مركز القوى المتوازية؟

كيف يتم تحديد إحداثيات مركز القوى المتوازية؟

كيف يمكن تحديد مركز القوى المتوازية التي محصلتها صفر؟

ما هي خصائص مراكز القوى المتوازية؟

ما الصيغ المستخدمة لحساب إحداثيات مركز القوى المتوازية؟

ما هو مركز ثقل الجسم؟

لماذا يمكن اعتبار قوى الجاذبية الأرضية المؤثرة على نقطة ما على الجسم بمثابة نظام من القوى المتوازية؟

اكتب صيغة تحديد موضع مركز ثقل الأجسام غير المتجانسة والمتجانسة، صيغة تحديد موضع مركز ثقل الأجزاء المسطحة؟

اكتب صيغة تحديد موضع مركز ثقل الأشكال الهندسية البسيطة: مستطيل، مثلث، شبه منحرف ونصف دائرة؟

ما هي اللحظة الثابتة للمنطقة؟

أعط مثالاً لجسم يقع مركز ثقله خارج الجسم.

كيف يتم استخدام خصائص التماثل في تحديد مراكز ثقل الأجسام؟

ما هو جوهر طريقة الأوزان السلبية؟

أين يقع مركز ثقل القوس الدائري؟

ما البناء الرسومي الذي يمكن استخدامه للعثور على مركز ثقل المثلث؟

اكتب الصيغة التي تحدد مركز ثقل القطاع الدائري.

باستخدام الصيغ التي تحدد مراكز ثقل المثلث والقطاع الدائري، اشتق صيغة مماثلة للقطاع الدائري.

ما هي الصيغ المستخدمة لحساب إحداثيات مراكز ثقل الأجسام المتجانسة والأشكال والخطوط المسطحة؟

ما يسمى بالعزم الثابت لمساحة الشكل المستوي بالنسبة للمحور وكيف يتم حسابه وما البعد الذي يمتلكه؟

كيفية تحديد موضع مركز ثقل منطقة ما إذا كان موضع مراكز ثقل أجزائها الفردية معروفًا؟

ما هي النظريات المساعدة المستخدمة لتحديد موضع مركز الثقل؟

مستطيل. بما أن المستطيل له محوري تماثل، فإن مركز ثقله يقع عند تقاطع محوري التماثل، أي. عند نقطة تقاطع قطري المستطيل.

مثلث. يقع مركز الثقل عند نقطة تقاطع متوسطاته. من المعروف من الهندسة أن متوسطات المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة وتنقسم بنسبة 1:2 من القاعدة.

دائرة. بما أن الدائرة لها محوري تماثل، فإن مركز ثقلها يقع عند تقاطع محوري التماثل.

نصف دائرة. نصف الدائرة له محور تماثل واحد، ثم يقع مركز الثقل على هذا المحور. يتم حساب إحداثيات أخرى لمركز الثقل بالصيغة: .

يتم تصنيع العديد من العناصر الهيكلية من المنتجات المدرفلة القياسية - الزوايا والعوارض والقنوات وغيرها. جميع الأبعاد، بالإضافة إلى الخصائص الهندسية للمقاطع الملفوفة، هي بيانات جدولية يمكن العثور عليها في الأدبيات المرجعية في جداول التشكيلة العادية (GOST 8239-89، GOST 8240-89).

مثال 1. حدد موضع مركز ثقل الشكل الموضح في الشكل.

حل:

نختار محاور الإحداثيات بحيث يمتد محور الثور على طول البعد الإجمالي السفلي، ويمتد محور أوي على طول البعد الإجمالي في أقصى اليسار.

نقوم بتقسيم الشكل المعقد إلى أقل عدد ممكن من الأشكال البسيطة:

مستطيل 20x10؛

مثلث 15x10؛

الدائرة R = 3 سم.

نحسب مساحة كل شكل بسيط وإحداثيات مركز ثقله. يتم إدخال نتائج الحساب في الجدول

الشكل رقم	مساحة الشكل أ،	إحداثيات مركز الثقل

إجابة: ج(14.5; 4.5)

مثال 2 . تحديد إحداثيات مركز ثقل مقطع مركب يتكون من صفائح ومقاطع ملفوفة.

حل.

نختار محاور الإحداثيات كما هو موضح في الشكل.

دعنا نحدد الأرقام بالأرقام ونكتب البيانات الضرورية من الجدول:

الشكل رقم	مساحة الشكل أ،	إحداثيات مركز الثقل

نحسب إحداثيات مركز ثقل الشكل باستخدام الصيغ:

إجابة: ج(0; 10)

العمل المخبري رقم 1 "تحديد مركز ثقل الأشكال المسطحة المركبة"

هدف: تحديد مركز ثقل شكل مركب مسطح معين باستخدام الطرق التجريبية والتحليلية ومقارنة نتائجها.

أمر العمل

ارسم شكلك المسطح في دفاتر ملاحظاتك بالحجم، مع الإشارة إلى محاور الإحداثيات.

تحديد مركز الثقل تحليليا.

1. قسّم الشكل إلى الحد الأدنى لعدد الأشكال التي نعرف كيفية تحديد مراكز ثقلها.

   وضح أرقام المناطق وإحداثيات مركز ثقل كل شكل.

   احسب إحداثيات مركز ثقل كل شكل.

   احسب مساحة كل شكل.

   احسب إحداثيات مركز ثقل الشكل بأكمله باستخدام الصيغ (يتم رسم موضع مركز الثقل على رسم الشكل):

يتكون التثبيت المخصص لتحديد إحداثيات مركز الثقل بشكل تجريبي باستخدام طريقة التعليق من حامل رأسي 1 (انظر الشكل) الذي تم ربط الإبرة به 2 . شخصية مسطحة 3 مصنوعة من الورق المقوى، مما يسهل عمل ثقوب فيها. الثقوب أ و في اخترقت في نقاط عشوائية (يفضل أن تكون على مسافة أبعد من بعضها البعض). يتم تعليق شكل مسطح على إبرة، أولاً عند نقطة ما أ ، ثم عند هذه النقطة في . باستخدام خط راسيا 4 ، متصلة بنفس الإبرة، ارسم خطًا رأسيًا على الشكل بقلم رصاص يتوافق مع خيط الخط الراسيا. مركز الجاذبية مع سيتم تحديد موقع الشكل عند نقطة تقاطع الخطوط الرأسية المرسومة عند تعليق الشكل عند النقاط أ و في .

الهدف من العمل – تحديد مركز ثقل الشكل المعقد تحليلياً وتجريبياً.

الخلفية النظرية. تتكون الأجسام المادية من جسيمات أولية، يتم تحديد موقعها في الفضاء من خلال إحداثياتها. ويمكن اعتبار قوى جذب كل جسيم إلى الأرض نظاماً من القوى المتوازية، ويطلق على محصلة هذه القوى اسم قوة جاذبية الجسم أو وزن الجسم. مركز ثقل الجسم هو نقطة تطبيق الجاذبية.

مركز الثقل هو نقطة هندسية يمكن وضعها خارج الجسم (على سبيل المثال، قرص به ثقب، كرة مجوفة، وما إلى ذلك). إن تحديد مركز ثقل الصفائح المسطحة الرقيقة المتجانسة له أهمية عملية كبيرة. يمكن عادة إهمال سمكها ويمكن افتراض أن مركز الجاذبية يقع في المستوى. إذا تم دمج المستوى الإحداثي xOy مع مستوى الشكل، فسيتم تحديد موضع مركز الثقل بإحداثيتين:

أين مساحة جزء من الشكل، ()؛

– إحداثيات مركز ثقل أجزاء الشكل مم (سم).

قسم من الشكل	أ، مم 2	× ج، مم	نعم، مم
	ب	ب/2	ح/2
	ب/2	ب/3	ح/3
	ر2 أ
عند 2α = π πR 2 /2

إجراءات العمل.

ارسم شكلاً معقدًا يتكون من 3-4 أشكال بسيطة (مستطيل، مثلث، دائرة، إلخ) بمقياس رسم 1:1 وحدد أبعاده.

ارسم محاور الإحداثيات بحيث تغطي الشكل بأكمله، وقم بتقسيم الشكل المعقد إلى أجزاء بسيطة، وحدد مساحة وإحداثيات مركز ثقل كل شكل بسيط بالنسبة لنظام الإحداثيات المحدد.

احسب إحداثيات مركز ثقل الشكل بأكمله تحليليًا. قطع هذا الشكل من الورق المقوى الرفيع أو الخشب الرقائقي. حفر فتحتين، يجب أن تكون حواف الثقوب ناعمة، ويجب أن يكون قطر الثقوب أكبر قليلاً من قطر الإبرة لتعليق الشكل.

قم أولاً بتعليق الشكل عند نقطة واحدة (الفتحة)، ثم ارسم خطًا بقلم رصاص يتزامن مع الخط الراسيا. كرر الأمر نفسه عند تعليق الشكل عند نقطة أخرى. يجب أن يتطابق مركز ثقل الشكل الذي تم العثور عليه تجريبيًا.

حدد إحداثيات مركز ثقل صفيحة رفيعة متجانسة تحليليًا. تحقق تجريبيا

خوارزمية الحل

1. الطريقة التحليلية.

أ) ارسم الرسم بمقياس رسم 1:1.

ب) قسّم الشكل المعقد إلى أشكال بسيطة

ج) حدد وارسم محاور الإحداثيات (إذا كان الشكل متماثلًا، فعندئذٍ على طول محور التماثل، وإلا على طول محيط الشكل)

د) حساب مساحة الأشكال البسيطة والشكل بأكمله

هـ) حدد موضع مركز ثقل كل شكل بسيط في الرسم

و) احسب إحداثيات مركز الثقل لكل شكل

(على طول المحورين x و y)

ز) احسب إحداثيات مركز ثقل الشكل بأكمله باستخدام الصيغة

ح) ضع علامة على موضع مركز الثقل على الرسم C (

2. التحديد التجريبي.

يمكن التحقق من صحة حل المشكلة تجريبيا. قطع هذا الشكل من الورق المقوى الرفيع أو الخشب الرقائقي. حفر ثلاثة ثقوب، يجب أن تكون حواف الثقوب ناعمة، ويجب أن يكون قطر الثقوب أكبر قليلاً من قطر الإبرة لتعليق الشكل.

قم أولاً بتعليق الشكل عند نقطة واحدة (الفتحة)، ثم ارسم خطًا بقلم رصاص يتزامن مع الخط الراسيا. كرر نفس الشيء عند تعليق الشكل في نقاط أخرى. قيمة إحداثيات مركز ثقل الشكل الموجودة عند تعليق الشكل عند نقطتين: . يجب أن يتطابق مركز ثقل الشكل الذي تم العثور عليه تجريبيًا.

3. استنتاج حول موضع مركز الثقل أثناء التحديد التحليلي والتجريبي.

يمارس

تحديد مركز ثقل مقطع مسطح تحليلياً وتجريبياً.

مثال التنفيذ

مهمة

حدد إحداثيات مركز ثقل صفيحة رفيعة متجانسة.

أنا الأسلوب التحليلي

1. يتم رسم الرسم بمقياس (عادةً ما يتم تحديد الأبعاد بالملليمتر)

2. نقوم بتقسيم الشكل المعقد إلى أشكال بسيطة.

1- المستطيل

2- المثلث (المستطيل)

3- مساحة نصف الدائرة (غير موجودة، علامة الطرح).

نجد موقف مركز الثقل لأشكال بسيطة من النقاط، و

3. ارسم محاور الإحداثيات بشكل ملائم وحدد أصل الإحداثيات.

4. حساب مساحات الأشكال البسيطة ومساحة الشكل بأكمله. [الحجم بالسم]

(3. لا، علامة -).

مساحة الشكل بأكمله

5. ابحث عن إحداثيات النقطة المركزية. ، وفي الرسم.

6. احسب إحداثيات النقاط C 1 و C 2 و C 3

7. احسب إحداثيات النقطة C

8. حدد نقطة على الرسم

الثاني من ذوي الخبرة

إحداثيات مركز الثقل تجريبيا.

أسئلة التحكم.

1. هل من الممكن اعتبار قوة جاذبية الجسم بمثابة نظام محصلة من القوى المتوازية؟

2. هل يمكن تحديد موقع مركز ثقل الجسم كله؟

3. ما هو جوهر التحديد التجريبي لمركز ثقل الشكل المسطح؟

4. كيف يتم تحديد مركز ثقل الشكل المعقد المكون من عدة أشكال بسيطة؟

5. كيف ينبغي تقسيم الشكل المعقد بشكل عقلاني إلى أشكال بسيطة عند تحديد مركز ثقل الشكل بأكمله؟

6. ما هي الإشارة التي تحتوي عليها مساحة الثقوب في صيغة تحديد مركز الثقل؟

7. عند تقاطع أي خطوط من خطوط المثلث يقع مركز ثقله؟

8. إذا كان من الصعب تقسيم الرقم إلى عدد صغير من الأشكال البسيطة، فما هي طريقة تحديد مركز الثقل التي يمكن أن توفر أسرع إجابة؟

العمل العملي رقم 6

""حل المشاكل المعقدة""

الهدف من العمل: تكون قادرة على حل المشاكل المعقدة (الحركية والديناميكية)

الخلفية النظرية: السرعة هي مقياس حركي لحركة نقطة ما، وهو ما يميز سرعة التغيير في موضعها. سرعة النقطة هي ناقل يميز سرعة واتجاه حركة نقطة ما في لحظة معينة من الزمن. عند تحديد حركة نقطة بالمعادلات، فإن إسقاطات السرعة على محاور الإحداثيات الديكارتية تساوي:

يتم تحديد معامل سرعة نقطة ما بواسطة الصيغة

يتم تحديد اتجاه السرعة بواسطة جيب التمام الاتجاه:

إن خاصية سرعة تغير السرعة هي التسارع أ. تسارع نقطة ما يساوي المشتق الزمني لمتجه السرعة:

عند تحديد حركة نقطة ما، فإن معادلات إسقاط التسارع على محاور الإحداثيات تساوي:

وحدة التسريع:

وحدة التسارع الكاملة

يتم تحديد وحدة التسارع العرضي بواسطة الصيغة

يتم تحديد معامل التسارع الطبيعي بواسطة الصيغة

أين هو نصف قطر انحناء المسار عند نقطة معينة.

يتم تحديد اتجاه التسارع بواسطة جيب التمام الاتجاه

معادلة الحركة الدورانية لجسم صلب حول محور ثابت لها الشكل

السرعة الزاوية للجسم:

في بعض الأحيان يتم تحديد السرعة الزاوية بعدد الدورات في الدقيقة ويتم الإشارة إليها بالحرف. الاعتماد بين وله الشكل

التسارع الزاوي للجسم :

القوة التي تساوي حاصل ضرب كتلة نقطة معينة في تسارعها والاتجاه في الاتجاه المعاكس مباشرة لتسارع النقطة تسمى قوة القصور الذاتي.

القدرة هي الشغل الذي تبذله القوة في وحدة الزمن.

المعادلة الديناميكية الأساسية للحركة الدورانية

– لحظة القصور الذاتي للجسم بالنسبة لمحور الدوران هي مجموع حاصل ضرب كتل النقاط المادية في مربع مسافاتها إلى هذا المحور

يمارس

جسم كتلته m، بمساعدة كابل ملفوف على أسطوانة قطرها d، يتحرك لأعلى أو لأسفل على طول مستوى مائل بزاوية ميل α. معادلة حركة الجسم S=f(t)، معادلة دوران الأسطوانة، حيث S بالأمتار؛ φ - بالراديان. ر – بالثواني. P وω هما، على التوالي، القوة والسرعة الزاوية على عمود الأسطوانة في لحظة نهاية التسارع أو بداية الكبح. الزمن t 1 - زمن التسارع (من السكون إلى سرعة معينة) أو زمن الكبح (من سرعة معينة إلى التوقف). معامل الاحتكاك المنزلق بين الجسم والمستوى هو -f. أهمل خسائر الاحتكاك على الأسطوانة، وكذلك كتلة الأسطوانة. عند حل المسائل، خذ g=10 m/s 2

رقم فار	ألفا، درجة	قانون الحركة	على سبيل المثال، الحركة	م، كجم	ر 1 ، ق	د، م	ف، كيلوواط	، راد/ث	F	مواطنه. كميات
		ق = 0.8 طن 2	تحت	-	-	0,20	4,0		0,20	م،ر 1
		φ=4ر2	تحت		1,0	0,30	-	-	0,16	ص، ω
		ق = 1.5 طن - ر 2	أعلى	-	-	-	4,5		0,20	م، د
		ω=15t-15t2	أعلى	-	-	0,20	3,0	-	0,14	م، ω
		ق = 0.5 طن 2	تحت		-	-	1,76		0,20	د،ر 1
		ق = 1.5 طن 2	تحت	-	0,6	0,24	9,9	-	0,10	م، ω
		ق = 0.9 طن 2	تحت		-	0,18	-		0,20	ف، ر 1
		φ=10t2	تحت		-	0,20	1,92	-	0,20	ف، ر 1
		ق=t-1.25t2	أعلى		-	-	-		0,25	ص، د
		φ=8t-20t 2	أعلى		-	0,20	-	-	0,14	ف، ω

مثال التنفيذ

المشكلة 1(الصورة 1).

الحل 1.حركة مستقيمة (الشكل 1، أ). النقطة التي تتحرك بشكل منتظم في وقت ما تلقت قانونًا جديدًا للحركة، وبعد فترة زمنية معينة توقفت. تحديد جميع الخصائص الكينماتيكية لحركة النقطة لحالتين؛ أ) الحركة على طريق مستقيم؛ ب) الحركة على طول مسار منحني نصف قطر انحناء ثابت r = 100 سم

الشكل 1 (أ).

قانون تغيير سرعة النقطة

نجد السرعة الابتدائية للنقطة من الشرط:

نجد زمن الكبح للتوقف من الحالة :

في، من هنا.

قانون حركة نقطة خلال فترة الحركة المنتظمة

المسافة التي تقطعها النقطة على طول المسار أثناء فترة الكبح هي

قانون التغيير في التسارع العرضي لنقطة ما

ومن ثم يترتب على ذلك أنه خلال فترة الكبح تحركت النقطة ببطء متساوٍ، لأن التسارع العرضي يكون سالبًا وثابتًا في القيمة.

التسارع الطبيعي لنقطة على مسار مستقيم هو صفر، أي. .

الحل 2.حركة منحنية (الشكل 1، ب).

الشكل 1 (ب)

في هذه الحالة، بالمقارنة مع حالة الحركة المستقيمة، تظل جميع الخصائص الحركية دون تغيير، باستثناء التسارع الطبيعي.

قانون التغيير في التسارع الطبيعي لنقطة ما

التسارع الطبيعي لنقطة ما في اللحظة الأولى للفرملة

ترقيم مواضع النقاط على المسار المقبولة في الرسم: 1 – الموضع الحالي للنقطة في حركة موحدة قبل بدء الكبح؛ 2 - موضع النقطة لحظة الكبح؛ 3 - الوضع الحالي للنقطة خلال فترة الكبح؛ 4- الوضع النهائي للنقطة.

المهمة 2.

يتم رفع الحمولة (الشكل 2، أ) باستخدام رافعة أسطوانية. قطر الأسطوانة d = 0.3m، وقانون دورانها هو .

استمر تسارع الأسطوانة حتى السرعة الزاوية. تحديد جميع الخصائص الحركية لحركة الأسطوانة والحمل.

حل. قانون التغير في السرعة الزاوية للأسطوانة. نجد السرعة الزاوية الأولية من الشرط: ; ولذلك، بدأ التسارع من حالة السكون. سنجد زمن التسارع من الشرط : . زاوية دوران الطبلة خلال فترة التسارع.

يترتب على قانون التغيير في التسارع الزاوي للأسطوانة أنه خلال فترة التسارع تدور الأسطوانة بتسارع منتظم.

الخصائص الحركية للحمل تساوي الخصائص المقابلة لأي نقطة من حبل الجر، وبالتالي النقطة أ ملقاة على حافة الأسطوانة (الشكل 2، ب). وكما هو معروف، فإن الخصائص الخطية لنقطة من الجسم الدوار يتم تحديدها من خلال خصائصها الزاوية.

المسافة التي يقطعها الحمولة خلال فترة التسارع . سرعة الحمل في نهاية التسارع.

تسريع البضائع.

قانون حركة البضائع.

يمكن تحديد مسافة وسرعة وتسارع الحمل بشكل مختلف، من خلال قانون حركة الحمل الموجود:

المهمة 3.الحمل، الذي يتحرك بشكل منتظم لأعلى على طول مستوى دعم مائل، تلقى في وقت ما فرملة وفقًا لقانون الحركة الجديد ، حيث s بالأمتار وt بالثواني. كتلة الحمولة م = 100 كجم، معامل الاحتكاك المنزلق بين الحمولة والمستوى f = 0.25. حدد القوة F والقوة المؤثرة على حبل الجر لمدة لحظتين من الزمن: أ) حركة منتظمة قبل بدء الكبح؛

ب) لحظة الكبح الأولية. عند الحساب، خذ g=10 m/.

حل.نحدد الخصائص الحركية لحركة الحمولة.

قانون التغير في سرعة الحمل

السرعة الأولية للحمل (عند t=0)

تسارع البضائع

وبما أن التسارع سلبي، فإن الحركة تكون بطيئة.

1. حركة موحدة للحمل.

لتحديد القوة الدافعة F، نأخذ في الاعتبار توازن الحمل، والذي يتم التأثير عليه بواسطة نظام من القوى المتقاربة: القوة المؤثرة على الكابل F، وقوة جاذبية الحمل G=mg، والتفاعل الطبيعي للسطح الداعم N وقوة الاحتكاك الموجهة نحو حركة الجسم. حسب قانون الاحتكاك . نختار اتجاه المحاور الإحداثية كما هو موضح في الرسم، ونرسم معادلتي توازن للحمل:

يتم تحديد الطاقة الموجودة على الكابل قبل بدء الكبح من خلال الصيغة المعروفة

أين هو م / ث.

2. حركة بطيئة للبضائع.

كما هو معروف، مع حركة انتقالية غير متساوية للجسم، فإن نظام القوى المؤثرة عليه في اتجاه الحركة غير متوازن. وفقًا لمبدأ دالمبيرت (طريقة الحركية)، يمكن اعتبار الجسم في هذه الحالة في حالة توازن مشروط إذا أضفنا إلى جميع القوى المؤثرة عليه قوة بالقصور الذاتي، يتم توجيه متجهها عكسًا لمتجه التسارع. يتم توجيه ناقل التسارع في حالتنا عكسًا لمتجه السرعة، نظرًا لأن الحمل يتحرك ببطء. نقوم بإنشاء معادلتين متوازنتين للحمل:

قم بتشغيل الكابل في بداية الكبح

أسئلة التحكم.

1. كيفية تحديد القيمة العددية واتجاه سرعة نقطة ما في لحظة معينة؟

2. ما الذي يميز المكونات العمودية والعرضية للتسارع الكلي؟

3. كيف يمكن الانتقال من التعبير عن السرعة الزاوية بالدقيقة -1 إلى التعبير عنها بالراد/الثانية؟

4. ماذا يسمى وزن الجسم؟ اسم وحدة قياس الكتلة

5. عند أي حركة لنقطة مادية تنشأ قوة القصور الذاتي؟ ما هي قيمتها العددية وما هو اتجاهها؟

6. مبدأ دولة دالمبرت

7. هل تنشأ قوة القصور الذاتي أثناء الحركة المنحنية المنتظمة لنقطة مادية؟

8. ما هو عزم الدوران؟

9. كيف يتم التعبير عن العلاقة بين عزم الدوران والسرعة الزاوية لقوة مرسلة معينة؟

10. المعادلة الديناميكية الأساسية للحركة الدورانية.

العمل العملي رقم 7

"حساب هياكل القوة"

الهدف من العمل: تحديد القوة وأبعاد المقطع العرضي والحمل المسموح به

الخلفية النظرية.

بمعرفة عوامل القوة والخصائص الهندسية للمقطع أثناء تشوه الشد (الضغط)، يمكننا تحديد الإجهاد باستخدام الصيغ. ولفهم ما إذا كان الجزء الخاص بنا (العمود، والعتاد، وما إلى ذلك) سيتحمل الحمل الخارجي. من الضروري مقارنة هذه القيمة بالجهد المسموح به.

لذلك، معادلة القوة الثابتة

وعلى أساسه يتم حل 3 أنواع من المشاكل:

1) اختبار القوة

2) تحديد أبعاد القسم

3) تحديد الحمولة المسموح بها

لذلك، معادلة الصلابة الساكنة

وبناءً عليه، تم أيضًا حل 3 أنواع من المشكلات

معادلة قوة الشد الساكنة (الضغط).

1) النوع الأول - اختبار القوة

,

أي أننا نحل الطرف الأيسر ونقارنه بالإجهاد المسموح به.

2) النوع الثاني – تحديد أبعاد القسم

من منطقة المقطع العرضي على الجانب الأيمن

دائرة القسم

ومن هنا القطر د

قسم المستطيل

ساحة القسم

أ = أ² (مم²)

قسم نصف دائرة

الأقسام: القناة، الشعاع I، الزاوية، الخ.

قيم المساحة - من الجدول المقبولة وفقًا لـ GOST

3) النوع الثالث هو تحديد الحمولة المسموح بها؛

اتخذت إلى الجانب الأصغر، عدد صحيح

يمارس

مهمة

أ) فحص القوة (حساب الاختبار)

بالنسبة لعارضة معينة، قم بإنشاء مخطط للقوى الطولية وتحقق من القوة في كلا القسمين. بالنسبة للمواد الخشبية (الصلب St3) تقبل

رقم الخيار
	12,5	5,3	-			-
		2,3			-	-
		4,2		-	-

ب) اختيار القسم (حساب التصميم)

بالنسبة لحزمة معينة، قم بإنشاء مخطط للقوى الطولية وحدد أبعاد المقطع العرضي في كلا القسمين. بالنسبة للمواد الخشبية (الصلب St3) تقبل

رقم الخيار
	1,9	2,5
	2,8	1,9
	3,2

ب) تحديد القوة الطولية المسموح بها

لشعاع معين، تحديد القيم المسموح بها للأحمال و،

بناء مخطط للقوى الطولية. بالنسبة للمواد الخشبية (الصلب St3) تقبل. عند حل المشكلة، افترض أن نوع التحميل هو نفسه في كلا قسمي الحزمة.

رقم الخيار
	-	-
			-	-
	-	-

مثال على إكمال المهمة

المشكلة 1(الصورة 1).

تحقق من قوة عمود مصنوع من ملفات تعريف I بحجم معين. بالنسبة لمادة العمود (الفولاذ St3)، تقبل ضغوط الشد المسموح بها وأثناء الضغط . في حالة التحميل الزائد أو التحميل الزائد بشكل كبير، حدد أحجام I-beam التي تضمن قوة العمود المثالية.

حل.

يحتوي الشعاع المعطى على قسمين 1، 2. حدود الأقسام هي الأقسام التي يتم فيها تطبيق قوى خارجية. نظرًا لأن القوى التي تحمل الحزمة تقع على طول المحور الطولي المركزي، فإن عامل قوة داخلي واحد فقط ينشأ في المقاطع العرضية - القوة الطولية، أي. هناك توتر (ضغط) للشعاع.

لتحديد القوة الطولية، نستخدم طريقة القسم. من خلال رسم قسم داخل كل قسم عقليًا، سنتخلص من الجزء السفلي الثابت من العارضة ونترك الجزء العلوي للنظر فيه. في القسم 1، القوة الطولية ثابتة وتساوي

تشير علامة الطرح إلى أن الشعاع مضغوط في كلا القسمين.

نحن نبني مخططا للقوى الطولية. بعد رسم الخط الأساسي (الصفر) للمخطط الموازي لمحور الحزمة، نقوم برسم القيم التي تم الحصول عليها بشكل متعامد معها على مقياس تعسفي. كما ترون، تبين أن المخطط تم تحديده بخطوط مستقيمة موازية للقاعدة.

نحن نتحقق من قوة الأخشاب، أي. نحدد الإجهاد المحسوب (لكل قسم على حدة) ونقارنه بالإجهاد المسموح به. للقيام بذلك، نستخدم حالة قوة الضغط

حيث المساحة هي خاصية هندسية لقوة المقطع العرضي. من طاولة الفولاذ المدلفن نأخذ:

لشعاع I
لشعاع I

إختبار القوة:

تؤخذ قيم القوى الطولية بالقيمة المطلقة.

يتم ضمان قوة الخشب، ومع ذلك، هناك حمولة ناقصة كبيرة (أكثر من 25٪)، وهو أمر غير مقبول بسبب الاستهلاك المفرط للمواد.

ومن شرط القوة نحدد الأبعاد الجديدة للكمرة I لكل قسم من الكمرات:
ومن هنا المساحة المطلوبة

وفقًا لجدول GOST، نختار I-beam رقم 16، والذي؛

ومن هنا المساحة المطلوبة

وفقًا لجدول GOST، نختار I-beam رقم 24، والذي ؛

مع أحجام I-beam المحددة، يحدث أيضًا حمل ناقص، ولكنه غير مهم (أقل من 5%)

المهمة رقم 2.

بالنسبة إلى الحزمة ذات أبعاد المقطع العرضي المحددة، حدد قيم الحمل المسموح بها و. بالنسبة للمواد الخشبية (الفولاذ St3)، تقبل ضغوط الشد المسموح بها وأثناء الضغط .

حل.

تحتوي الحزمة المعطاة على قسمين 1، 2. هناك شد (ضغط) للحزمة.

باستخدام طريقة المقاطع نحدد القوة الطولية ونعبر عنها بالقوى المطلوبة و. عند تنفيذ قسم داخل كل قسم، سنتخلص من الجزء الأيسر من العارضة ونترك الجزء الأيمن للنظر فيه. في القسم 1، القوة الطولية ثابتة وتساوي

في القسم 2، القوة الطولية أيضًا ثابتة وتساوي

تشير علامة الزائد إلى أن العارضة ممتدة في كلا القسمين.

نحن نبني مخططا للقوى الطولية. يتم تحديد المخطط بخطوط مستقيمة موازية للقاعدة.

من حالة قوة الشد نحدد قيم الأحمال المسموح بها وبعد حساب مساحات المقاطع العرضية المحددة مسبقًا:

أسئلة التحكم.

1. ما هي عوامل القوة الداخلية التي تنشأ في قسم الحزمة أثناء الشد والضغط؟

2. أكتب ظروف قوة الشد والضغط.

3. كيف يتم تحديد علامات القوة الطولية والضغط الطبيعي؟

4. كيف سيتغير الجهد إذا زادت مساحة المقطع العرضي بمقدار 4 مرات؟

5. هل تختلف ظروف القوة بالنسبة لحسابات الشد والضغط؟

6. في أي وحدات يتم قياس الجهد؟

7. ما هي الخاصية الميكانيكية التي تم اختيارها لتكون الحد من الإجهاد للمواد المرنة والهشة؟

8. ما الفرق بين الإجهاد المحدود والإجهاد المسموح به؟

العمل العملي رقم 8

"حل المسائل لتحديد العزوم المركزية الرئيسية للقصور الذاتي للأشكال الهندسية المسطحة"

الهدف من العمل: تحديد لحظات القصور الذاتي للأجسام المسطحة ذات الشكل المعقد تحليليًا

الخلفية النظرية. يمكن التعبير عن إحداثيات مركز ثقل القسم من حيث اللحظة الثابتة:

حيث نسبة إلى محور الثور

نسبة إلى محور أوي

إن العزم الثابت لمساحة الشكل بالنسبة لمحور يقع في نفس المستوى يساوي حاصل ضرب مساحة الشكل ومسافة مركز ثقله إلى هذا المحور. اللحظة الثابتة لها بعد. يمكن أن تكون اللحظة الثابتة موجبة أو سالبة أو تساوي الصفر (بالنسبة لأي محور مركزي).

لحظة القصور الذاتي المحورية لقسم ما هي مجموع منتجات أو تكامل المناطق الأولية المأخوذة على القسم بأكمله بمربعات مسافاتها إلى محور معين يقع في مستوى القسم قيد النظر.

يتم التعبير عن عزم القصور الذاتي المحوري بالوحدات - . العزم المحوري للقصور الذاتي هو كمية موجبة دائمًا ولا تساوي الصفر.

تسمى المحاور التي تمر عبر مركز ثقل الشكل مركزية. تسمى لحظة القصور الذاتي حول المحور المركزي باللحظة المركزية للقصور الذاتي.

عزم القصور الذاتي حول أي محور يساوي المركز

لإنشاء الحرف اليدوية والألغاز وللأعمال المنزلية فقط، ينشأ أحيانًا موقف عندما يكون من الضروري حساب مركز ثقل الشكل. وإذا كانت صيغ حساب مركز الثقل معروفة لأبسط الأشكال، على سبيل المثال، لدائرة يتطابق مركز الثقل مع مركز الدائرة، فإن الأشكال الأكثر تعقيدًا، وخاصة الأشكال التي تتكون من خطوط متقطعة، من الصعب جدًا حسابها يدويًا.

ما هو مركز الثقل؟ هذه نقطة على الشكل، ترفعها بحيث يظل الشكل في نفس الوضع الذي يكمن فيه، على سبيل المثال، على الطاولة. هذا تفسير غير محترف بالطبع، بالإضافة إلى أننا نتحدث عن أرقام مسطحة. والأصح هو أن مركز ثقل النظام الميكانيكي هو النقطة التي يكون عندها إجمالي عزم قوى الجاذبية المؤثرة على النظام مساويًا للصفر.

تقوم الآلة الحاسبة بحساب مركز ثقل أي شكل مسطح ذو تركيبة متجانسة، يتكون من خطوط متقطعة.

ما الذي تحتاج إلى معرفته كمستخدم؟ إحداثيات نقاط قمة هذا المضلع مطلوبة.

كيفية تحديد مركز الثقل؟

إذا على النقاط M1(x1,y1,z1)و M2(x2,y2,z2) تعمل قوى متوازية، فإن النقطة M من تطبيق محصلة هذه القوى تقسم المقطع M1M2 بنسبة عكسية لهذه القوى

وبالتالي فإن إحداثيات النقطة M ستكون

إذا كنا نتحدث عن تأثير ثلاث قوى مؤثرة، فإن الصيغ متشابهة ويتم حسابها كمتوسط ​​مرجح حسابي

يتم حسابها بنفس الطريقة إذا لم يكن هناك ثلاثة في نقاط تطبيق القوى، بل أربعة أو خمسة أو عشرة، على سبيل المثال.

إذا سلمنا أن القوة المؤثرة على النقاط ستكون الجاذبية، وأن كتلة النقاط ستكون نفسها، فبعد تخفيض نفس القيم، ستكون صيغتنا للنقاط الثلاث كما يلي

هنا يعتمد موضع مركز الثقل فقط على موضع النقاط. النقطة () تسمى مركز الثقل الهندسي لهذه النقاط

إذا كان الشكل متماثلا، فإن مركز الثقل يتزامن مع المركز الهندسي للشكل.ينطبق هذا على أشكال مثل المربع والدائرة والمضلع المنتظم والمثلث متساوي الأضلاع والأشياء المماثلة الأخرى.

وأيضًا نظرية صغيرة ستساعد في حساب مركز ثقل الأشكال المعقدة.

لن يتغير موضع مركز ثقل الكتلة النقطية النقية إذا تم استبدال أي مجموعة جزئية من الكتل النقطية للنظام بكتلة نقطة واحدة تقع في مركز ثقل هذه المجموعة ويكون كتلتها مجموع الكتل من نقاط هذه المجموعة.

حساب مركز ثقل المثلث بالإحداثيات

دعونا نحسب مركز ثقل لوحة مثلثة ذات شكل عشوائي وبنفس السماكة.

ما هي المادة التي سنصنعها منها، الفولاذ أو الورق أو البلاستيك، ليست مهمة جدًا.

مركز ثقل المثلث هو أحد النقاط السبع المميزة، ويعرف بأنه نقطة تقاطع متوسطات أضلاع هذا المثلث.

فإذا كنا نعرف إحداثيات المثلث فقط مثلاً، وقمنا بقصه من دفتر إلى مربع، فسيتم تحديد إحداثيات نقطة الجاذبية على النحو التالي

لا تحاول تقريب هذه الصيغة وتعتقد أنه سيتم حساب مركز شبه المنحرف بطريقة مماثلة، على سبيل المثال، باستخدام الصيغ التالية

وهذا غير صحيح، أو بالأحرى خطأ في حالة توزيع الكتلة في مستوى بين هذه النقاط (على سبيل المثال، لوحة).

إذا كنا نتحدث عن كتل نقطية تقع في هذه الإحداثيات، فإن صيغة مركز الكتلة ستكون صحيحة.

حساب مركز ثقل شبه المنحرف عن طريق الإحداثيات

فكيف إذن حساب مركز ثقل شبه المنحرف؟

لقد وجد الأشخاص الأذكياء صيغة لحساب النقطة، ولكن يتم تقديم البيانات الأولية فيها على شكل أطوال جوانب شبه منحرف.

هذه هي الصيغة.

ليس من المناسب أن نعرف فقط إحداثيات شبه المنحرف. لكننا سنستخدم طريقة تقسيم شبه المنحرف إلى مثلثين، حيث نجد مركز الثقل لكل منهما، وبعد ذلك، بحساب نقطتين (مراكز)، نجد الحل النهائي.

سيتم حساب مركز كل مثلث باستخدام الصيغة المعروفة

لكن عندما نحسب النقطة النهائية، يجب أن نأخذ في الاعتبار أنه من خلال "سحب" كل مثلث إلى مركز الجاذبية، فإننا نجمع أيضًا كتلة السطح بأكملها التي تقع بين هذه الإحداثيات.

نظرًا لأن العلاقة بين مساحة الشكل (بنفس السُمك) والكتلة خطية، فمن السهل الافتراض أن الحساب النهائي لن يكون هو نفسه